Задачи на движение

Основное соотношение: путь равен произведению скорости на время, \(s = vt\), откуда \(t = \dfrac{s}{v}\) и \(v = \dfrac{s}{t}\). При движении навстречу скорости складываются, при движении вдогонку — вычитаются. По течению реки скорость лодки равна \(v + v_{\text{теч}}\), против течения — \(v - v_{\text{теч}}\), где \(v\) — собственная скорость.

Пример. Два велосипедиста одновременно отправились в 224-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 2 часа раньше. Найдите скорость второго велосипедиста.
Решение. Пусть скорость второго \(v\) км/ч, тогда первого \(v + 2\). Время в пути: \(\dfrac{224}{v}\) и \(\dfrac{224}{v + 2}\), разность равна 2: \(\dfrac{224}{v} - \dfrac{224}{v + 2} = 2\). Умножаем на \(v(v + 2)\): \(224(v + 2) - 224v = 2v(v + 2)\), \(448 = 2v^2 + 4v\), \(v^2 + 2v - 224 = 0\), откуда \(v = 14\) (корень \(-16\) не подходит). Ответ: 14 км/ч.

Пример. Лодка прошла 48 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 7 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Решение. Пусть собственная скорость \(v\) км/ч. По течению лодка идёт \(\dfrac{48}{v + 2}\) ч, против течения — \(\dfrac{48}{v - 2}\) ч: \(\dfrac{48}{v + 2} + \dfrac{48}{v - 2} = 7\). Умножаем на \((v + 2)(v - 2)\): \(48(v - 2) + 48(v + 2) = 7(v^2 - 4)\), \(96v = 7v^2 - 28\), \(7v^2 - 96v - 28 = 0\). Дискриминант \(D = 96^2 + 4\cdot 7\cdot 28 = 10000\), \(v = \dfrac{96 + 100}{14} = 14\) (второй корень отрицательный). Ответ: 14 км/ч.

Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое скоростей. Пример. Половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, половину — 90 км/ч. Пусть половина пути равна \(S\). Время: \(\dfrac{S}{60} + \dfrac{S}{90} = \dfrac{5S}{180} = \dfrac{S}{36}\). Средняя скорость: \(2S : \dfrac{S}{36} = 72\) км/ч, а не 75.

Поезд и пешеход. Поезд длиной \(L\) проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении, со скоростью \(v - u\) относительно пешехода (навстречу — \(v + u\)). Чтобы перевести километры в час в метры в секунду, делят на 3,6. Пример. Поезд идёт со скоростью 76 км/ч, пешеход — 4 км/ч в том же направлении, поезд проходит мимо него за 30 с. Скорость сближения \(72\) км/ч \(= 20\) м/с, длина поезда \(20\cdot 30 = 600\) м.