Числа и точность вычислений
Стандартная запись и порядок величины
Концентрации в химии различаются на десятки порядков: в литре воды около 55 моль молекул \(\ce{H2O}\), а ионов \(\ce{H+}\) — всего \(10^{-7}\) моль. Чтобы такие числа было удобно сравнивать, перемножать и проверять, их записывают в стандартном виде.
bookmarkСтандартная запись числа
\(x = a\cdot 10^{n}\), где \(1 \le |a| < 10\) — мантисса, \(n\) — целый показатель. Показатель \(n\) называют порядком величины: он показывает, на сколько разрядов число сдвинуто относительно мантиссы — сколько раз её умножили (\(n > 0\)) или разделили (\(n < 0\)) на 10.
| Число | Стандартная запись | Порядок |
|---|---|---|
| \(0{,}000\,42\) | \(4{,}2\cdot 10^{-4}\) | \(-4\) |
| \(55{,}5\) | \(5{,}55\cdot 10^{1}\) | \(1\) |
| \(60\,200\) | \(6{,}02\cdot 10^{4}\) | \(4\) |
| \(0{,}1\) | \(1\cdot 10^{-1}\) | \(-1\) |
Чтобы перейти к стандартной записи, запятую переносят так, чтобы перед ней осталась одна ненулевая цифра: каждый шаг запятой влево прибавляет к показателю единицу, шаг вправо — вычитает. Число меньше единицы всегда имеет отрицательный показатель.
Действия со степенями десяти
При умножении мантиссы перемножают, а показатели складывают; при делении мантиссы делят, а показатели вычитают:
Если мантисса вышла за пределы от 1 до 10, число снова приводят к стандартному виду: \(12\cdot10^{-6} = 1{,}2\cdot10^{-5}\).
Сравнивают числа по порядку: сначала показатели, и лишь при равных показателях — мантиссы. Поэтому \(9\cdot10^{-7} < 2\cdot10^{-6}\), хотя \(9 > 2\).
errorСложение — не умножение
Показатели складывают только при умножении. При сложении числа сначала приводят к одному показателю: \(3\cdot10^{-4} + 5\cdot10^{-5} = 3\cdot10^{-4} + 0{,}5\cdot10^{-4} = 3{,}5\cdot10^{-4}\).
infoИз истории
Больше двух тысяч лет назад Архимед в сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок») задался вопросом, сколько песчинок поместится во Вселенной, как её тогда представляли. Ответ — около \(10^{63}\) — записать было нечем: греческая система счёта кончалась на мириаде мириад (\(10^8\)). Архимед придумал записывать числа «октадами» по восемь порядков — по сути прообраз степеней десяти. Стандартная запись — прямая наследница этой идеи.
Значащие цифры и округление
Число в ответе расчётной задачи сообщает не только величину, но и точность. Масса «2,48 г» означает, что взвешивали до сотых грамма; ответ «0,042437 моль» приписывает опыту точность, которой у него нет.
bookmarkЗначащие цифры
Все цифры числа, начиная с первой ненулевой слева. Нули в начале числа лишь показывают положение запятой и значащими не считаются: у \(0{,}02040\) четыре значащие цифры — \(2, 0, 4, 0\). Нули в конце дробной части значащие: \(2{,}50\) и \(2{,}5\) — результаты разной точности.
| Запись | Значащих цифр | Почему |
|---|---|---|
| \(0{,}0035\) | 2 | нули в начале не считаются |
| \(1{,}030\) | 4 | нуль в конце дробной части значащий |
| \(1500\) | неясно | пишут \(1{,}5\cdot10^{3}\) или \(1{,}50\cdot10^{3}\) |
| \(6{,}022\cdot10^{23}\) | 4 | вся точность — в мантиссе |
Правила округления результата
- Умножение и деление: в результате столько значащих цифр, сколько в наименее точном множителе. \(2{,}48 : 58{,}44 = 0{,}042437\ldots \approx 0{,}0424\) — три цифры, как у \(2{,}48\).
- Сложение и вычитание: результат округляют до разряда наименее точного слагаемого. \(12{,}5 + 0{,}236 + 3{,}01 = 15{,}746 \approx 15{,}7\) — до десятых, как у \(12{,}5\).
- Точные числа — коэффициенты уравнения, число частиц, определения единиц (\(1\) л \(= 1000\) мл) — точность не ограничивают.
errorОкругление на каждом шаге
Промежуточные результаты хранят с одной-двумя лишними цифрами (или прямо в памяти калькулятора), а округляют только итог. Если округлять после каждого действия, ошибки накапливаются и последняя цифра ответа становится случайной.
Оценка до вычисления
Опытный олимпиадник начинает расчёт с грубой оценки. Каждое число округляют до одной значащей цифры, степени десяти считают отдельно — и за полминуты получают порядок ответа. Если калькулятор затем выдаёт результат другого порядка, ошибка в наборе или в формуле.
edit_noteОценка числа молекул
В 1 мл воды (\(m = 1\) г, \(M = 18\) г/моль): \(n = 1/18 \approx 0{,}05\) моль, \(N \approx 0{,}05\cdot 6\cdot10^{23} = 3\cdot10^{22}\). Точный расчёт даёт \(3{,}34\cdot10^{22}\) — порядок совпал.
Научный калькулятор
- Число \(2{,}5\cdot10^{-7}\) вводят клавишей порядка (EXP, EE, \(\times10^x\)): «2.5 EXP −7». Набор «2.5 × 10 EXP −7» даёт число в 10 раз больше.
- Знаменатель из нескольких множителей берут в скобки: \(\dfrac{a}{b\cdot c}\) — это «a ÷ (b × c)», а не «a ÷ b × c».
- Отрицательный показатель вводят клавишей смены знака (±), а не вычитанием.
task_altПроверка ответа
- Сравнить с оценкой: порядок должен совпасть.
- Проверить разумность: молярная концентрация водного раствора не больше 55,5 моль/л, масса не отрицательна, доля — от 0 до 1.
- Округлить итог по значащим цифрам и указать единицы.
infoЗадачи Ферми
Энрико Ферми, один из создателей ядерной физики, любил задачи-оценки вроде «сколько настройщиков пианино в Чикаго?». Их решают цепочкой грубых, но разумных допущений — и почти всегда попадают в верный порядок. Во время первого испытания атомной бомбы 16 июля 1945 года Ферми бросил полоски бумаги и по тому, как далеко их отнесла ударная волна, оценил мощность взрыва примерно в 10 тысяч тонн тротила; точный анализ дал около 20 тысяч. Для оценки «на коленке» — превосходное попадание в порядок.
push_pinГлавное
Сначала оцените порядок ответа, затем вычисляйте с запасом точности и округляйте только итог — по наименее точному исходному данному.
Закрепите теорию: 13 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.