Единицы и размерности
Величина, число и единица
bookmarkФизическая величина
Произведение числового значения на единицу: \(V = 2{,}5\) л. Число без единицы смысла не имеет: «\(V = 2{,}5\)» может означать и 2,5 л, и 2,5 м³ — разница в тысячу раз.
В формулы подставляют величины целиком — вместе с единицами, и единицы сокращают как обычные множители. Тогда ошибка в переводе видна сразу: в ответе получается «Па·л/Дж» вместо «моль».
Единицы СИ и принятые в химии
| Величина | Единица СИ | Часто используют | Связь |
|---|---|---|---|
| объём \(V\) | м³ | л, мл, см³ | \(1\) л \(= 1\) дм³ \(= 10^{-3}\) м³; \(1\) мл \(= 1\) см³ |
| давление \(p\) | Па | кПа, атм, бар, мм рт. ст. | \(1\) атм \(= 101\,325\) Па \(= 760\) мм рт. ст.; \(1\) бар \(= 10^{5}\) Па |
| энергия \(E\) | Дж | кДж, эВ | \(1\) кДж \(= 10^{3}\) Дж |
| температура \(T\) | К | °C | \(T = t + 273{,}15\) |
| количество вещества \(n\) | моль | ммоль | \(1\) ммоль \(= 10^{-3}\) моль |
| концентрация \(c\) | моль/м³ | моль/л (М) | \(1\) моль/л \(= 10^{3}\) моль/м³ |
errorКвадраты и кубы приставок
Приставка возводится в степень вместе с единицей: \(1\ \text{см}^3 = (10^{-2}\ \text{м})^3 = 10^{-6}\ \text{м}^3\), а не \(10^{-2}\ \text{м}^3\). Так же \(1\ \text{мм}^2 = 10^{-6}\ \text{м}^2\).
Температуру в формулы термодинамики и газовых законов подставляют только в кельвинах: при \(t = 0\) °C газ не исчезает, а \(T = 0\) К недостижим.
Перевод единиц цепочкой множителей
Надёжный способ перевода — умножать на дроби, равные единице: в числителе и знаменателе одна и та же величина в разных единицах. Ненужные единицы сокращаются, как буквы:
lightbulbПолезные совпадения
\(1\) г/л \(= 1\) кг/м³; \(1\) г/мл \(= 1\) кг/л; \(1\) моль/л \(= 1\) ммоль/мл; \(1\) кПа·л \(= 1\) Дж; \(1\) Па·м³ \(= 1\) Дж.
Последние два равенства решают главную задачу газовых расчётов. С \(R = 8{,}314\) Дж/(моль·К) произведение \(pV\) должно быть в джоулях: давление в паскалях даёт объём в кубических метрах, давление в килопаскалях — объём в литрах.
Химическое применение: ошибка в тысячу раз
В уравнении \(pV = nRT\) легко получить объём в тысячу раз больше или меньше верного: подставить давление в килопаскалях и считать ответ кубометрами или подставить паскали и считать ответ литрами. Проверка простая: моль газа при обычных условиях занимает около 22–25 л.
errorМолярная масса в кг/моль
В формулах, где встречается кинетическая энергия молекул (скорости молекул, эффузия), \(M\) подставляют в кг/моль: \(M(\ce{N2}) = 0{,}028\) кг/моль. С граммами на моль скорость получается в \(\sqrt{1000} \approx 32\) раза меньше.
infoЦена ошибки в единицах
В 1999 году аппарат NASA Mars Climate Orbiter после девяти месяцев полёта подошёл к Марсу слишком низко и погиб. Программа одной команды выдавала импульс двигателей в фунт-силах на секунду, а программа другой считала эти числа ньютонами на секунду — ошибка в 4,45 раза. С тех пор эту историю рассказывают всем, кто считает единицы лишней формальностью.
Размерность и проверка формул
bookmarkРазмерность
Запись величины через основные: длину, массу, время, количество вещества, температуру. В верном уравнении размерности (и единицы) левой и правой частей совпадают.
Три правила ловят большинство ошибок:
- складывать, вычитать и сравнивать можно только величины одной размерности;
- аргумент функций \(\exp\), \(\ln\), \(\lg\), \(\sin\) безразмерен — поэтому пишут \(\ln(c/c^\circ)\) со стандартной концентрацией \(c^\circ = 1\) моль/л;
- показатель степени безразмерен: в \(e^{-kt}\) произведение \(kt\) — чистое число.
edit_noteПроверка формулы скорости молекул
Для \(u = \sqrt{3RT/M}\): \(\dfrac{\text{Дж}\cdot\text{моль}^{-1}\text{К}^{-1}\cdot\text{К}}{\text{кг}\cdot\text{моль}^{-1}} = \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}} = \dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}^2\cdot\text{с}^{-2}}{\text{кг}} = \dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2}.\) Корень даёт м/с — формула согласована, но только при \(M\) в кг/моль.
lightbulbЕдиница константы подсказывает закон
Константа скорости в с\(^{-1}\) — признак первого порядка, в л·моль\(^{-1}\)·с\(^{-1}\) — второго. Проверка единиц находит ошибку ещё до чисел.
push_pinГлавное
Величина — это число, умноженное на единицу; единицы переводят до подстановки, а размерности обеих частей верного уравнения совпадают.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.