Пропорции и средние величины
Пропорциональность и доли
linkОпора
- Урок 1. Числа и точность вычислений — стандартная запись числа, порядок величины, значащие цифры, действия на научном калькуляторе. Сначала оценка результата, затем вычисление и округление в конце
Две величины прямо пропорциональны, если их отношение постоянно: \(y = kx\). Увеличили \(x\) вдвое — вдвое выросла и \(y\). Обратно пропорциональны — если постоянно произведение: \(y = k/x\).
| Зависимость | Что постоянно | Химический пример |
|---|---|---|
| \(m = nM\) | \(M = m/n\) | масса порции вещества пропорциональна количеству |
| \(V = \dfrac{nRT}{p}\) | \(pV\) при данных \(n, T\) | объём газа обратно пропорционален давлению |
| \(c = \dfrac{n}{V}\) | \(V\) | при данном объёме концентрация пропорциональна \(n\) |
bookmarkДоли компонентов
Массовая доля \(w_i = m_i/m\), мольная доля \(x_i = n_i/n\), объёмная доля \(\varphi_i = V_i/V\). Доли безразмерны, лежат от 0 до 1, в сумме по всем компонентам дают 1; процент — доля, умноженная на 100. Для смеси идеальных газов объёмная доля равна мольной: при одинаковых \(p\) и \(T\) объём газа пропорционален его количеству.
errorДоля от чего?
Массовая доля соли в растворе — от массы раствора, а не растворителя: 25 г соли в 100 г воды дают \(w = 25/125 = 0{,}20\), а не \(25/100 = 0{,}25\).
Взвешенное среднее
Средняя молярная масса смеси — это масса смеси, делённая на её количество вещества:
Это взвешенное среднее с весами — мольными долями. Среднее арифметическое \((M_1 + M_2)/2\) годится только для смеси равных количеств.
edit_noteВоздух
\(\bar M = 0{,}78\cdot28 + 0{,}21\cdot32 + 0{,}01\cdot40 = 28{,}96 \approx 29\) г/моль. Поэтому плотность газа по воздуху \(D_{\text{возд}} = M/29\), а по водороду \(D_{\ce{H2}} = M/2\).
functionsСредняя молярная масса по массовым долям
Если известны массовые доли, найдём количество вещества в смеси массой \(m\): \(n = \sum\dfrac{m_i}{M_i} = m\sum\dfrac{w_i}{M_i}\). Тогда
Усредняются не сами молярные массы, а обратные им величины — количества вещества в 1 г каждого компонента.
Так же, взвешенным средним, считают среднюю атомную массу элемента по изотопам: веса — доли атомов каждого изотопа.
| Смесь | Веса | Формула |
|---|---|---|
| газы, известны мольные (объёмные) доли | \(x_i\) | \(\bar M = \sum x_iM_i\) |
| известны массовые доли | \(w_i\) | \(1/\bar M = \sum w_i/M_i\) |
| изотопы элемента | доли атомов | \(\bar A_r = \sum x_i A_{r,i}\) |
infoПочему атомные массы дробные
Относительная атомная масса хлора 35,45 — не целое число, потому что хлор — смесь изотопов: около 76 % атомов \(^{35}\)Cl и 24 % \(^{37}\)Cl. Взвешенное среднее \(0{,}758\cdot34{,}97 + 0{,}242\cdot36{,}97 = 35{,}45\). Долгое время дробные атомные массы были загадкой. Слово «изотоп» ввёл Фредерик Содди в 1913 году, а в 1919 году Фрэнсис Астон на своём масс-спектрографе показал, что неон — смесь атомов с массами 20 и 22 (Нобелевская премия 1922 года).
Состав смеси по средней молярной массе
functionsПравило рычага
Для двух компонентов \(\bar M = x_1M_1 + (1 - x_1)M_2\). Раскроем скобки: \(\bar M - M_2 = x_1(M_1 - M_2)\), откуда
Отношение долей \(x_1 : x_2 = (M_2 - \bar M) : (\bar M - M_1)\): точка \(\bar M\) делит отрезок от \(M_1\) до \(M_2\) на части, обратно пропорциональные долям, как опора делит рычаг с грузами.
Чем ближе средняя масса к \(M_1\), тем больше в смеси первого компонента.
ruleКогда формула работает
Компонентов ровно два, и их молярные массы известны. Средняя масса обязана лежать между \(M_1\) и \(M_2\); если это не так, условие противоречиво или в смеси есть третий газ.
errorМольная или массовая?
Правило рычага по молярным массам даёт мольные (объёмные) доли. Массовую долю находят потом: \(w_i = x_iM_i/\bar M\).
push_pinГлавное
Средняя величина смеси — взвешенное среднее по мольным долям: \(\bar M = \sum x_iM_i\); по массовым долям усредняют обратные величины, \(1/\bar M = \sum w_i/M_i\). По средней молярной массе и молярным массам двух компонентов состав находят правилом рычага: \(x_1 = (M_2 - \bar M)/(M_2 - M_1)\).
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.