Уравнение и физически допустимый ответ
Выразить неизвестную
linkОпора
- Урок 1. Числа и точность вычислений — стандартная запись числа, порядок величины, значащие цифры, действия на научном калькуляторе. Сначала оценка результата, затем вычисление и округление в конце
Расчётная задача почти всегда сводится к уравнению. Надёжный порядок действий:
- Записать уравнение в буквах.
- Выразить неизвестную — тоже в буквах.
- Проверить размерность полученной формулы.
- Подставить числа с единицами и вычислить.
Числа до последнего шага не подставляют: в буквенной формуле видно, от чего зависит ответ, и легко проверить предельные случаи.
edit_noteПлотность газа из газового закона
Плотность — масса единицы объёма. Из \(pV = \dfrac{m}{M}RT\) делением обеих частей на \(V\) и умножением на \(M/(RT)\) получаем \(\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{pM}{RT}\). Проверка единиц: \(\dfrac{\text{Па}\cdot\text{кг}\cdot\text{моль}^{-1}}{\text{Дж}\cdot\text{моль}^{-1}\text{К}^{-1}\cdot\text{К}} = \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\), потому что Дж \(=\) Па·м³. Формула сразу показывает: плотность газа растёт с давлением и молярной массой и падает с температурой.
Линейное уравнение из баланса
Если в смеси двух веществ известны общая масса и общее количество какой-то частицы, получается линейное уравнение. Пусть смесь карбонатов кальция и магния массой \(m\) при прокаливании выделила \(n\) моль \(\ce{CO2}\), а масса \(\ce{CaCO3}\) равна \(x\) г. Каждый моль карбоната даёт моль \(\ce{CO2}\):
и \(x\) находится одним действием после приведения подобных.
errorЧисла до формулы
Подстановка чисел до того, как выбраны единицы и выражена неизвестная, — самая частая причина ошибок в тысячу раз и потерянных множителей.
Квадратное уравнение
functionsФормула корней
Разделим \(ax^2 + bx + c = 0\) на \(a\) и дополним левую часть до полного квадрата:
Извлекая корень, получаем
При \(D < 0\) действительных корней нет. Если корни \(x_1\) и \(x_2\) известны, то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\); раскрыв скобки, получим теорему Виета: \(x_1x_2 = c/a\), \(x_1 + x_2 = -b/a\) — удобную проверку.
edit_noteУравнение для слабой кислоты
Для 0,010 М фтороводородной кислоты (\(K_a = 6{,}8\cdot10^{-4}\)) получается \(x^2 + 6{,}8\cdot10^{-4}x - 6{,}8\cdot10^{-6} = 0\), где \(x = [\ce{H+}]\). \(D = 4{,}6\cdot10^{-7} + 2{,}72\cdot10^{-5} = 2{,}77\cdot10^{-5}\), \(\sqrt D = 5{,}26\cdot10^{-3}\); \(x = \dfrac{-6{,}8\cdot10^{-4} + 5{,}26\cdot10^{-3}}{2} = 2{,}29\cdot10^{-3}\) моль/л. Второй корень отрицателен и смысла не имеет. Приближённая формула \(\sqrt{K_ac} = 2{,}6\cdot10^{-3}\) здесь ошибается на 14 %: кислота продиссоциировала заметно, и квадратное уравнение необходимо.
lightbulbКогда корни сильно различаются
Если \(b^2 \gg 4|ac|\), малый корень по формуле — разность близких чисел, и калькулятор теряет точность. Надёжнее найти большой корень, а малый — по Виету: \(x_{\text{мал}} = \dfrac{c}{a\,x_{\text{бол}}}\).
infoИз истории
Квадратные уравнения решали уже в Древнем Вавилоне почти четыре тысячи лет назад: на глиняных табличках сохранились задачи о площадях полей с пошаговым алгоритмом, который по сути совпадает с нашей формулой корней. Отрицательные корни вавилоняне отбрасывали — как и мы, по смыслу задачи.
Отбор корня по смыслу
Математика даёт все корни уравнения, химия — только допустимые. До решения полезно записать область допустимых значений:
- концентрация, количество вещества, давление — не отрицательны;
- степень превращения и мольная доля — от 0 до 1;
- прореагировать может не больше, чем было: \(x \le n_0\) для каждого реагента с учётом коэффициентов;
- температура в кельвинах положительна.
edit_noteРавновесие с двумя положительными корнями
\(\ce{H2 + I2 <=> 2HI}\), \(K = 50\), исходно 1,00 моль \(\ce{H2}\) и 2,00 моль \(\ce{I2}\). Прореагировало \(x\) моль водорода: \(\dfrac{(2x)^2}{(1 - x)(2 - x)} = 50\), откуда \(46x^2 - 150x + 100 = 0\) и \(x = 0{,}934\) или \(2{,}33\). Оба положительны, но \(2{,}33 > 1{,}00\) — водорода столько не было. Ответ: \(x = 0{,}934\) моль.
task_altПодстановка
Выбранный корень подставляют в исходное уравнение (а не в преобразованное): так обнаруживаются и ошибки в корне, и ошибки при раскрытии скобок. Для \(x = 0{,}934\): \(\dfrac{1{,}868^2}{0{,}066\cdot1{,}066} = 49{,}6 \approx 50\).
push_pinГлавное
Неизвестную выражают в буквах и проверяют размерность до подстановки чисел. Формула корней квадратного уравнения получается дополнением до полного квадрата, теорема Виета — из разложения на множители. Корень уравнения — ещё не ответ: его проверяют по условию (знак, доля от 0 до 1, не больше исходного количества) и подстановкой в исходное уравнение.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.