Уравнение и физически допустимый ответ

10 заданий

Выразить неизвестную

Расчётная задача почти всегда сводится к уравнению. Надёжный порядок действий:

Записать уравнение в буквах.
Выразить неизвестную — тоже в буквах.
Проверить размерность полученной формулы.
Подставить числа с единицами и вычислить.

Числа до последнего шага не подставляют: в буквенной формуле видно, от чего зависит ответ, и легко проверить предельные случаи.

edit_noteМолярная масса из газового закона

\(pV = \dfrac{m}{M}RT \;\Rightarrow\; M = \dfrac{mRT}{pV}\). Проверка единиц: \(\dfrac{\text{г}\cdot\text{Дж}\cdot\text{моль}^{-1}\text{К}^{-1}\cdot\text{К}}{\text{Па}\cdot\text{м}^3} = \dfrac{\text{г}}{\text{моль}}\), потому что Па·м³ \(=\) Дж.

Линейное уравнение из баланса

Если в смеси двух веществ известны общая масса и общее количество какой-то частицы, получается линейное уравнение. Пусть в смеси \(\ce{NaCl}\) и \(\ce{KCl}\) масса \(\ce{NaCl}\) равна \(x\) г; тогда хлорид-ионов

\[\frac{x}{58{,}44} + \frac{m - x}{74{,}55} = n(\ce{Cl-}),\]

и \(x\) находится одним действием после приведения подобных.

errorЧисла до формулы

Подстановка чисел до того, как выбраны единицы и выражена неизвестная, — самая частая причина ошибок в тысячу раз и потерянных множителей.

Квадратное уравнение

Уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) решают через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1{,}2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Проверка — теорема Виета: \(x_1x_2 = c/a\), \(x_1 + x_2 = -b/a\).

edit_noteУравнение для слабой кислоты

Для 0,10 М уксусной кислоты получается \(x^2 + 1{,}8\cdot10^{-5}x - 1{,}8\cdot10^{-6} = 0\), где \(x = [\ce{H+}]\). \(D = 3{,}24\cdot10^{-10} + 7{,}2\cdot10^{-6} \approx 7{,}2\cdot10^{-6}\), \(\sqrt D = 2{,}683\cdot10^{-3}\); \(x = \dfrac{-1{,}8\cdot10^{-5} + 2{,}683\cdot10^{-3}}{2} = 1{,}33\cdot10^{-3}\) моль/л. Второй корень отрицателен и смысла не имеет.

lightbulbКогда корни сильно различаются

Если \(b^2 \gg 4|ac|\), малый корень по формуле — разность близких чисел, и калькулятор теряет точность. Надёжнее найти большой корень, а малый — по Виету: \(x_{\text{мал}} = \dfrac{c}{a\,x_{\text{бол}}}\).

infoИз истории

Квадратные уравнения решали уже в Древнем Вавилоне почти четыре тысячи лет назад: на глиняных табличках сохранились задачи о площадях полей с пошаговым алгоритмом, который по сути совпадает с нашей формулой корней. Отрицательные корни вавилоняне отбрасывали — как и мы, по смыслу задачи.

Отбор корня по смыслу

Математика даёт все корни уравнения, химия — только допустимые. До решения полезно записать область допустимых значений:

концентрация, количество вещества, давление — не отрицательны;
степень превращения и мольная доля — от 0 до 1;
прореагировать может не больше, чем было: \(x \le n_0\) для каждого реагента с учётом коэффициентов;
температура в кельвинах положительна.

Корни уравнения 2α2 + 3α - 2 = 0: допустим только корень в закрашенном отрезке 0 ≤ α ≤ 1 — Корни уравнения \(2\alpha^2 + 3\alpha - 2 = 0\): допустим только корень в закрашенном отрезке \(0 \le \alpha \le 1\)

edit_noteРавновесие с двумя положительными корнями

\(\ce{H2 + I2 <=> 2HI}\), \(K = 50\), исходно 1,00 моль \(\ce{H2}\) и 2,00 моль \(\ce{I2}\). Прореагировало \(x\) моль водорода: \(\dfrac{(2x)^2}{(1 - x)(2 - x)} = 50\), откуда \(46x^2 - 150x + 100 = 0\) и \(x = 0{,}934\) или \(2{,}33\). Оба положительны, но \(2{,}33 > 1{,}00\) — водорода столько не было. Ответ: \(x = 0{,}934\) моль.

task_altПодстановка

Выбранный корень подставляют в исходное уравнение (а не в преобразованное): так ловятся и ошибки в корне, и ошибки при раскрытии скобок. Для \(x = 0{,}934\): \(\dfrac{1{,}868^2}{0{,}066\cdot1{,}066} = 49{,}6 \approx 50\).

push_pinГлавное

Корень уравнения — ещё не ответ: его проверяют по условию (знак, доля от 0 до 1, не больше исходного количества) и подстановкой в исходное уравнение.

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.