Системы уравнений и балансы

9 заданий

Неизвестные и независимые уравнения

linkОпора

Урок 4. Уравнение и физически допустимый ответ — выражение неизвестной величины, линейные и квадратные уравнения, область допустимых значений. Положительный корень также проверяется по ограничениям задачи

Задачи на смеси решаются по одной схеме:

Перечислить неизвестные и дать им буквы: \(n_1\), \(n_2\) — количества компонентов.
Перечислить измерения: масса смеси, объём газа, масса осадка.
Каждое измерение превратить в уравнение через неизвестные.
Проверить независимость: уравнение, которое следует из остальных, новой информации не даёт.
Решить систему и проверить ответ по всем исходным данным.

functionsСистема двух линейных уравнений

\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1,\\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на \(b_2\), второе на \(b_1\) и вычтем: \(y\) сократится, и \((a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1\). Так же, исключив \(x\), найдём \(y\):

\[x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, \qquad y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}.\]

На практике удобнее подстановка: из более простого уравнения выразить одну неизвестную и подставить во второе.

errorЗависимые уравнения

Если знаменатель \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\), уравнения пропорциональны и определяют не точку, а прямую решений. Химический смысл: измерения не различают компоненты. Для смеси угарного газа и азота масса и количество вещества дают одно и то же уравнение — молярные массы обоих газов 28,0 г/моль, и состав так не найти.

Балансы по элементам и заряду

Атомы в химических превращениях не исчезают и не появляются, поэтому для каждого элемента верен материальный баланс: сколько атомов было, столько и осталось, в каком бы соединении они ни оказались.

edit_noteАнализ продуктов сгорания

Углеводород \(\ce{C_xH_y}\) сгорает до \(\ce{CO2}\) и \(\ce{H2O}\). Баланс по углероду: \(x\cdot n(\ce{C_xH_y}) = n(\ce{CO2})\); по водороду: \(y\cdot n(\ce{C_xH_y}) = 2n(\ce{H2O})\). Кислород в балансе не нужен — его взяли в избытке из воздуха.

Электронейтральность

Раствор в целом не заряжен: суммарный заряд катионов равен суммарному заряду анионов. Концентрацию каждого иона умножают на модуль его заряда:

\[\sum_i z_i^{+} c_i^{+} = \sum_j |z_j^{-}|\, c_j^{-}.\]

Для раствора \(\ce{AlCl3}\) и \(\ce{KNO3}\): \(3[\ce{Al^3+}] + [\ce{K+}] + [\ce{H+}] = [\ce{Cl-}] + [\ce{NO3-}] + [\ce{OH-}]\).

Баланс	Что сохраняется	Типичное применение
по веществу	масса, количество формульных единиц	смеси, растворы, кристаллогидраты
по элементу	число атомов элемента	сгорание, разложение, осаждение
по заряду	суммарный заряд	ионные растворы, pH, электролиз

errorКоэффициент заряда

Ион \(\ce{Al^3+}\) несёт три заряда — его концентрация входит в баланс заряда с множителем 3. Потерянный множитель — самая частая ошибка в уравнении электронейтральности.

infoИз истории

Закон сохранения массы — фундамент всех балансов. Михаил Ломоносов в 1756 году прокаливал металлы в запаянных стеклянных сосудах и убедился, что без доступа воздуха масса не меняется. Антуан Лавуазье в 1770–1780-х годах сделал точное взвешивание главным методом химии; в «Элементарном курсе химии» (1789) закон сохранения стал основой для записи реакций уравнениями — по сути, материальными балансами.

Два неизвестных из двух измерений

По двум независимым измерениям можно найти два неизвестных количества вещества.

edit_noteСмесь магния и алюминия

Смесь \(\ce{Mg}\) и \(\ce{Al}\) массой 5,1 г растворили в кислоте, выделилось 0,25 моль \(\ce{H2}\). Неизвестные: \(x = n(\ce{Mg})\), \(y = n(\ce{Al})\). Измерение массы: \(24x + 27y = 5{,}1\). Измерение газа: \(\ce{Mg -> H2}\), \(\ce{2Al -> 3H2}\), поэтому \(x + 1{,}5y = 0{,}25\). Из второго \(x = 0{,}25 - 1{,}5y\); подставляем: \(6 - 36y + 27y = 5{,}1\), \(y = 0{,}10\), \(x = 0{,}10\). Проверка: \(24\cdot0{,}1 + 27\cdot0{,}1 = 5{,}1\); \(0{,}1 + 0{,}15 = 0{,}25\) — оба измерения воспроизведены.

lightbulbГде брать уравнения

Масса смеси, объём (количество) газа, масса осадка, количество титранта, изменение массы при прокаливании — каждое такое число даёт уравнение. Коэффициенты уравнений реакций превращают измерение в связь между неизвестными.

push_pinГлавное

Сколько неизвестных — столько нужно независимых уравнений; систему двух линейных уравнений решают исключением неизвестной, и если определитель \(a_1b_2 - a_2b_1\) равен нулю, измерения не различают компоненты. Балансы по элементу и по заряду дают уравнения, не требуя знать механизм процесса; в балансе заряда концентрацию иона умножают на его заряд.

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.