Функции и чтение графиков
Как устроен график
linkОпора
- Урок 4. Уравнение и физически допустимый ответ — выражение неизвестной величины, линейные и квадратные уравнения, область допустимых значений. Положительный корень также проверяется по ограничениям задачи
График — изображение зависимости одной величины (функции) от другой (аргумента). Аргумент откладывают по горизонтальной оси, функцию — по вертикальной.
bookmarkЧто прочитать первым
- Подписи осей и единицы. Подпись «\(c\), моль/л» означает, что на оси отложено число — концентрация, выраженная в моль/л.
- Масштаб. Линейный — равные отрезки для равных разностей; логарифмический — для равных отношений (так строят концентрации и скорости, меняющиеся на порядки).
- Область определения. Время \(t \ge 0\), концентрация \(c \ge 0\): линии вне этой области физического смысла не имеют.
Особенности кривой
| Особенность | Как выглядит | Химический смысл для \(c(t)\) |
|---|---|---|
| возрастание | кривая идёт вверх | вещество накапливается (продукт) |
| убывание | кривая идёт вниз | вещество расходуется (реагент) |
| пересечение двух кривых | общая точка | концентрации равны |
| горизонтальная асимптота | кривая приближается к прямой | предельное (равновесное или конечное) значение |
| максимум | вершина | промежуточное вещество: накопление сменилось расходом |
functionsГде пересекаются кривые реагента и продукта
В реакции \(\ce{A -> B}\) каждый израсходованный моль A даёт моль B, поэтому в любой момент \(c_\text{A} + c_\text{B} = c_0\). Кривые пересекаются, когда \(c_\text{A} = c_\text{B}\), то есть \(c_\text{A} = c_0/2\): прореагировала половина реагента.
Значение читают так: на оси аргумента находят нужную точку, поднимаются вертикально до кривой и уходят горизонтально на ось функции. Точность такого чтения — около половины цены мелкого деления.
lightbulbЛайфхак: смотрите на начало оси
Прежде чем сравнивать высоты кривых или столбиков, проверьте, начинается ли ось с нуля. Обрезанная ось (например, от 0,90 до 1,00) превращает разницу в 2 % в огромный на вид разрыв — так иногда вводят в заблуждение и в газетах, и в статьях.
infoИз истории
Линейный график и столбчатую диаграмму придумал шотландский инженер и экономист Уильям Плейфэр в 1786 году для торговой статистики Англии. В естественных науках графики стали обычным языком в XIX веке — вместе с количественными опытами по кинетике и термодинамике.
Значение и изменение
Значение функции — это ордината точки кривой. Изменение — разность значений в двух точках:
У убывающей величины изменение отрицательно.
functionsСредняя скорость — наклон секущей
Проведём прямую через две точки кривой, \((t_1;\,c_1)\) и \((t_2;\,c_2)\). Её наклон — отношение подъёма к пробегу:
Это средняя скорость изменения на отрезке. Чем круче секущая, тем быстрее меняется величина; если сжимать отрезок, секущая переходит в касательную, а средняя скорость — в мгновенную (урок 12).
edit_noteДва вопроса к одному графику
Какова концентрация A через 5 мин? — 0,61 моль/л (значение). Насколько изменилась концентрация A за первые 5 мин? — \(0{,}61 - 1{,}00 = -0{,}39\) моль/л (изменение). Средняя скорость расходования A на этом отрезке — \(0{,}39/5 = 0{,}078\) моль/(л·мин). Для продукта B, начинавшего с нуля, значение и изменение совпадают — и это часто сбивает.
errorЗначение вместо изменения
Прочитать с графика 0,61 и назвать это убылью — типичная ошибка интерпретации. Убыль A за 5 мин равна 0,39 моль/л.
Сравнивая изменения на разных отрезках, получаем форму кривой: за первые 5 минут A убывает на 0,39 моль/л, за отрезок от 15 до 20 минут — лишь на 0,08. Убывание замедляется.
Одна зависимость — четыре представления
Одну и ту же зависимость полезно видеть словами, таблицей, графиком и формулой — и переходить между ними. Числа и обозначения во всех представлениях должны совпадать.
| \(t\), мин | 0 | 5 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(c(\text{A})\), моль/л | 1,00 | 0,61 | 0,22 | 0,14 | 0,050 |
Словами: A убывает, причём за равные промежутки времени его становится в одно и то же число раз меньше. Формулой: \(c(\text{A}) = c_0\,e^{-kt}\) с \(c_0 = 1{,}00\) моль/л и \(k = 0{,}100\) мин\(^{-1}\): за каждые 20 мин концентрация умножается на \(e^{-2} = 0{,}14\). Графиком — убывающая кривая на рисунке выше.
Каждое представление сильно своим: таблица даёт точные числа, график — форму и особые точки, формула — предсказание для любого \(t\), слова — смысл.
errorХорошая кривая — не доказательство механизма
По графику \(c(t)\) можно найти значения, скорость, предел. Но механизм реакции график не доказывает: одна и та же кривая совместима с разными механизмами.
push_pinГлавное
Сначала прочтите оси и единицы; значение функции и её изменение — разные величины; средняя скорость — наклон секущей \(\Delta c/\Delta t\). Кривые реагента и продукта реакции A → B пересекаются, когда прореагировала половина A. Горизонтальная асимптота — предел, к которому величина приближается, но не достигает.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.