Функции и чтение графиков
Как устроен график
График — изображение зависимости одной величины (функции) от другой (аргумента). Аргумент откладывают по горизонтальной оси, функцию — по вертикальной.
bookmarkЧто прочитать первым
- Подписи осей и единицы. Подпись «\(c\), моль/л» означает, что на оси отложено число — концентрация, выраженная в моль/л.
- Масштаб. Линейный — равные отрезки для равных разностей; логарифмический — для равных отношений (так строят концентрации и скорости, меняющиеся на порядки).
- Область определения. Время \(t \ge 0\), концентрация \(c \ge 0\): линии вне этой области физического смысла не имеют.
Особенности кривой
| Особенность | Как выглядит | Химический смысл для \(c(t)\) |
|---|---|---|
| возрастание | кривая идёт вверх | вещество накапливается (продукт) |
| убывание | кривая идёт вниз | вещество расходуется (реагент) |
| пересечение двух кривых | общая точка | концентрации равны |
| горизонтальная асимптота | кривая прижимается к прямой | предельное (равновесное или конечное) значение |
| максимум | вершина | промежуточное вещество: накопление сменилось расходом |
Значение читают так: на оси аргумента находят нужную точку, поднимаются вертикально до кривой и уходят горизонтально на ось функции. Точность такого чтения — около половины цены мелкого деления.
lightbulbЛайфхак: смотрите на начало оси
Прежде чем сравнивать высоты кривых или столбиков, проверьте, начинается ли ось с нуля. Обрезанная ось (например, от 0,90 до 1,00) превращает разницу в 2 % в «огромный» разрыв на рисунке — так иногда вводят в заблуждение и в газетах, и в статьях.
infoИз истории
Линейный график и столбчатую диаграмму придумал шотландский инженер и экономист Уильям Плейфэр в 1786 году для торговой статистики Англии. В естественных науках графики стали обычным языком в XIX веке — вместе с количественными опытами по кинетике и термодинамике.
Значение и изменение
Значение функции — это ордината точки кривой. Изменение — разность значений в двух точках:
У убывающей величины изменение отрицательно. Средняя скорость изменения на отрезке — отношение изменения к длине отрезка: \(\dfrac{\Delta c}{\Delta t}\).
edit_noteДва вопроса к одному графику
«Какова концентрация A через 10 мин?» — \(0{,}37\) моль/л (значение). «Насколько изменилась концентрация A за первые 10 мин?» — \(0{,}37 - 1{,}00 = -0{,}63\) моль/л (изменение). Для продукта B, начинавшего с нуля, значение и изменение совпадают — и это часто сбивает.
errorЗначение вместо изменения
Прочитать с графика \(0{,}37\) и назвать это «убылью» — типичная ошибка интерпретации. Убыль A за 10 мин равна \(0{,}63\) моль/л.
Сравнивая изменения на разных отрезках, получаем форму кривой: за первые 5 минут A убывает на \(0{,}39\) моль/л, за отрезок от 10 до 15 минут — лишь на \(0{,}14\). Убывание замедляется.
Одна зависимость — четыре представления
Наглядный приём модуля: одну и ту же зависимость полезно видеть словами, таблицей, графиком и формулой — и переходить между ними. Числа и обозначения во всех представлениях должны совпадать.
| \(t\), мин | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(c(\text{A})\), моль/л | 1,00 | 0,61 | 0,37 | 0,22 | 0,14 |
Словами: A убывает, причём за каждые 6,9 мин его становится вдвое меньше. Формулой: \(c(\text{A}) = c_0\,e^{-kt}\) с \(c_0 = 1{,}00\) моль/л и \(k = 0{,}100\) мин\(^{-1}\). Графиком — убывающая кривая на рисунке выше.
Каждое представление сильно своим: таблица даёт точные числа, график — форму и особые точки, формула — предсказание для любого \(t\), слова — смысл.
errorХорошая кривая — не доказательство механизма
По графику \(c(t)\) можно найти значения, скорость, предел. Но механизм реакции график не доказывает: одна и та же кривая совместима с разными механизмами.
push_pinГлавное
Сначала прочтите оси и единицы; значение функции и её изменение — разные величины; горизонтальная асимптота — предел, к которому величина приближается, но не достигает.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.