Производная как скорость изменения

10 заданий

Секущая и касательная

linkОпора

Урок 6. Функции и чтение графиков — оси, единицы, область определения, монотонность, пересечения и предельные значения. Отличать значение функции от изменения функции
Урок 9. Экспонента и характерное время — показательная функция, экспоненциальное убывание и приближение к пределу. Период полупревращения и постоянная времени

Средняя скорость изменения концентрации на отрезке \([t_1;\ t_2]\) — наклон секущей, прямой через две точки кривой: \(\dfrac{\Delta c}{\Delta t}\) (урок 6). Если сближать \(t_2\) с \(t_1\), секущая поворачивается и в пределе становится касательной. Её наклон — мгновенная скорость изменения, производная:

\[\frac{dc}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{c(t + \Delta t) - c(t)}{\Delta t}.\]

Секущая через две точки даёт среднюю скорость, касательная — мгновенную; при сближении точек секущая переходит в касательную

functionsПроизводная из определения

Найдём производную \(f(x) = x^2\). Приращение функции \((x + \Delta x)^2 - x^2 = 2x\,\Delta x + (\Delta x)^2\); делим на \(\Delta x\): \(2x + \Delta x\). При \(\Delta x \to 0\) остаётся \(2x\). Значит, \((x^2)' = 2x\): наклон касательной к параболе в точке \(x\) равен \(2x\).

Знак производной:

\(\dfrac{dc}{dt} > 0\) — величина растёт (продукт накапливается);
\(\dfrac{dc}{dt} < 0\) — убывает (реагент расходуется);
\(\dfrac{dc}{dt} = 0\) — в этот момент не меняется: максимум, минимум или равновесие.

bookmarkСкорость реакции

Для \(\text{A} \to \text{B}\) скорость \(v = -\dfrac{dc_\text{A}}{dt} = \dfrac{dc_\text{B}}{dt}\). Минус перед производной реагента делает скорость положительной: производная убывающей величины отрицательна.

Правила дифференцирования

functionПроизводные основных функций

Функция \(f(x)\)	Производная \(f'(x)\)
\(C\) (постоянная)	\(0\)
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)
\(e^{x}\)	\(e^{x}\)
\(e^{kx}\)	\(k\,e^{kx}\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)

Постоянный множитель выносится: \((Cf)' = Cf'\); производная суммы — сумма производных. Подробные выводы этих правил — в уроке 13.

Правило цепочки: производная сложной функции \(f(g(x))\) равна \(f'(g)\cdot g'(x)\) — внешняя производная, умноженная на внутреннюю. Например, \(\dfrac{d}{dx}(2x + 1)^3 = 3(2x + 1)^2\cdot2\) и \(\dfrac{d}{dt}\ln c(t) = \dfrac{1}{c}\dfrac{dc}{dt}\).

edit_noteСкорость накопления продукта

\(c_\text{B} = c_0(1 - e^{-kt}) \;\Rightarrow\; \dfrac{dc_\text{B}}{dt} = c_0\cdot k\,e^{-kt} = k(c_0 - c_\text{B}).\) Скорость накопления продукта пропорциональна тому, сколько реагента ещё осталось, — это и есть закон первого порядка, к которому мы вернёмся в уроке 17.

infoИз истории

Дифференциальное исчисление создали независимо Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц в 1660–1680-х годах; спор о приоритете растянулся на десятилетия. Ньютон называл производные флюксиями, а обозначение \(dy/dx\), которым мы пользуемся, придумал Лейбниц — оно удачно напоминает отношение малых приращений.

lightbulbЛайфхак: касательная по линейке

Касательную к экспериментальной кривой проводят линейкой, приложенной к точке так, чтобы по обе стороны кривая отходила от линейки одинаково. Наклон считают по двум далёким точкам самой касательной, а не кривой.

Максимум промежуточного вещества

В последовательных реакциях \(\text{A} \xrightarrow{k_1} \text{B} \xrightarrow{k_2} \text{C}\) промежуточное вещество B сначала накапливается, затем расходуется. В точке максимума его концентрация перестаёт расти: \(\dfrac{dc_\text{B}}{dt} = 0\).

Последовательные реакции A → B → C при k1 = 0,10 и k2 = 0,050 мин-1: максимум B — там, где касательная горизонтальна — Последовательные реакции A → B → C при \(k_1 = 0{,}10\) и \(k_2 = 0{,}050\) мин\(^{-1}\): максимум B — там, где касательная горизонтальна

functionsВремя максимума

При первом порядке обеих стадий \(c_\text{B} = c_0\dfrac{k_1}{k_2 - k_1}\left(e^{-k_1t} - e^{-k_2t}\right)\) (вывод — в уроке 90). Продифференцируем по правилу \((e^{kt})' = ke^{kt}\) и приравняем производную к нулю:

\[\frac{dc_\text{B}}{dt} = c_0\frac{k_1}{k_2 - k_1}\left(-k_1e^{-k_1t} + k_2e^{-k_2t}\right) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{k_2}{k_1} = e^{(k_2 - k_1)t}.\]

Логарифмируя, получаем

\[t_\text{max} = \frac{\ln(k_2/k_1)}{k_2 - k_1}.\]

task_altПредельные случаи

Если \(k_2 \gg k_1\), B расходуется почти сразу — максимум ранний и низкий. Если \(k_2 \ll k_1\), A быстро превращается в B, и максимум высокий, близкий к \(c_0\). Формула для \(t_\text{max}\) даёт положительное время при любом соотношении \(k_1 \ne k_2\): числитель и знаменатель всегда одного знака.

Максимум концентрации промежуточного продукта — сюжет заключительного этапа Московской олимпиады школьников 2026 года (11 класс, задача 4); к нему курс вернётся в уроке о последовательных реакциях.

push_pinГлавное

Производная — наклон касательной, мгновенная скорость изменения; её находят как предел отношения приращений, например \((x^2)' = 2x\). Знак производной показывает, растёт величина или убывает, а в точке максимума она равна нулю: для промежуточного вещества \(t_\text{max} = \ln(k_2/k_1)/(k_2 - k_1)\).

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.