Интеграл как накопленное изменение

9 заданий

Сумма малых вкладов

linkОпора

Урок 12. Производная как скорость изменения — средняя и мгновенная скорость, секущая и касательная. Производные степенной функции, экспоненты и логарифма; простое правило цепочки

Если скорость процесса постоянна, изменение за время \(\Delta t\) равно \(v\,\Delta t\) — площади прямоугольника под графиком скорости. Если скорость меняется, промежуток делят на малые части, на каждой считают скорость почти постоянной и складывают вклады:

\[\Delta c \approx \sum_i v(t_i)\,\Delta t \;\xrightarrow{\ \Delta t \to 0\ }\; \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.\]

Определённый интеграл — предел суммы площадей узких прямоугольников, то есть площадь под графиком

bookmarkОпределённый интеграл

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) — площадь между графиком \(f\) и осью \(x\) на отрезке \([a;\ b]\) (части ниже оси берутся со знаком минус). Единица интеграла — произведение единиц \(f\) и \(x\): скорость в моль/(л·мин), умноженная на минуты, даёт моль/л.

Для простых фигур интеграл считается геометрией: прямоугольник, треугольник, трапеция. Для кривых — формулами следующей части урока.

lightbulbЛайфхак: площадь по таблице

Если функция задана таблицей (теплоёмкость при разных температурах, скорость в разные моменты), интеграл считают суммой трапеций: \(\displaystyle\int f\,dx \approx \sum_i \frac{f_i + f_{i+1}}{2}\,\Delta x_i\). Чем мельче шаг, тем точнее.

infoИз истории

Ещё Архимед в III веке до н. э. нашёл площадь параболического сегмента, заполняя его всё более мелкими треугольниками, — так называемым методом исчерпывания. Это та же идея, что и в определении интеграла: сумма малых кусочков в пределе.

Первообразная и формула Ньютона — Лейбница

Интеграл считают через первообразную \(F\) — функцию, производная которой равна \(f\):

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \qquad F'(x) = f(x).\]

functionsПочему интеграл равен разности значений первообразной

Разобьём отрезок \([a;\ b]\) точками \(x_0 = a, x_1, \ldots, x_N = b\). Разность \(F(b) - F(a)\) — сумма приращений на всех малых отрезках: \(\sum_i\left[F(x_{i+1}) - F(x_i)\right]\), промежуточные значения взаимно сокращаются. На малом отрезке приращение функции равно её дифференциалу (урок 14): \(F(x_{i+1}) - F(x_i) \approx F'(x_i)\,\Delta x = f(x_i)\,\Delta x\). Значит, \(F(b) - F(a) \approx \sum_i f(x_i)\,\Delta x\), а при \(\Delta x \to 0\) эта сумма и есть интеграл.

functionОсновные интегралы

\(f(x)\)	первообразная \(F(x)\)
\(C\)	\(Cx\)
\(x^{n}\), \(n \ne -1\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(\dfrac1x\)	\(\ln x\)
\(e^{kx}\)	\(\dfrac{e^{kx}}{k}\)

Каждую строку проверяют дифференцированием первообразной. Особый случай \(\dfrac1x\) (\(n = -1\)) — важнейший в физической химии: \(\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = \ln\frac{V_2}{V_1}\). Под логарифмом получается безразмерное отношение — так и должно быть.

edit_noteИнтеграл степени

\(\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac13 = 8{,}67.\) Проверка: первообразная \(x^3/3\) даёт производную \(x^2\).

Работа по графику давления и энтальпия по теплоёмкости

Две величины физической химии находят как площадь.

Работа расширения

Газ, расширяясь против внешнего давления, совершает работу \(W_\text{газа} = \int p_\text{внеш}\,dV\) — площадь под графиком \(p(V)\). В химии принято считать положительной работу, совершаемую над системой: \(W = -\int p_\text{внеш}\,dV\). При расширении \(W < 0\).

Работа при обратимом изотермическом расширении идеального газа — площадь под изотермой p = nRT/V — Работа при обратимом изотермическом расширении идеального газа — площадь под изотермой \(p = nRT/V\)

Постоянное внешнее давление: \(W = -p\,\Delta V\) (прямоугольник).
Обратимый изотермический процесс идеального газа: давление в каждый момент равно \(nRT/V\).

functionsРабота обратимого изотермического расширения

При постоянной \(T\) множитель \(nRT\) выносится за знак интеграла:

\[W = -\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,dV = -nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.\]

Например, 2,00 моль газа при 350 К, расширяясь от 10 до 30 л, получают работу \(W = -2{,}00\cdot8{,}314\cdot350\cdot\ln3 = -6{,}39\) кДж (газ совершает работу 6,39 кДж).

Энтальпия по теплоёмкости

Изменение энтальпии при нагревании — площадь под графиком теплоёмкости: \(\Delta H = \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} C_p\,dT\). При постоянной \(C_p\) это \(C_p\,\Delta T\); при \(C_p = a + bT\) интеграл каждого слагаемого берут по таблице: \(a(T_2 - T_1) + \dfrac b2\left(T_2^2 - T_1^2\right)\).

errorЗнак работы

Работа газа и работа над газом отличаются знаком. В ответе всегда уточняйте, о какой идёт речь; в этом курсе используется химическое соглашение: работа над системой положительна.

push_pinГлавное

Интеграл — сумма малых вкладов \(f(x)\,dx\), площадь под графиком; зная скорость, изменение за промежуток находят интегрированием. Интеграл равен разности значений первообразной, потому что приращение функции складывается из её дифференциалов. \(\int dx/x = \ln(x_2/x_1)\); работа обратимого изотермического расширения \(W = -nRT\ln(V_2/V_1)\).

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.