Простейшие дифференциальные уравнения
Закон изменения и его решение
Опыт часто даёт не саму зависимость \(c(t)\), а закон её изменения — связь скорости с текущим состоянием. «Скорость исчезновения вещества пропорциональна его концентрации» записывается так:
Это дифференциальное уравнение первого порядка: неизвестна функция \(c(t)\), а в уравнение входит её производная. Минус описывает убывание; \(k\) — постоянная, её единица обратна единице времени.
Решение — функция, которая обращает уравнение в тождество. Таких функций целое семейство: \(c = Ce^{-kt}\) при любом \(C\). Начальное условие \(c(0) = c_0\) выбирает одну: \(C = c_0\).
task_altПроверка подстановкой
\(c = c_0e^{-kt} \Rightarrow \dfrac{dc}{dt} = -kc_0e^{-kt} = -kc\) — уравнение выполнено, и \(c(0) = c_0\). Подстановка — самая надёжная проверка решения.
errorМодель, а не следствие уравнения реакции
Закон \(dc/dt = -kc\) — установленная для конкретного процесса модель. Её нельзя вывести из коэффициентов суммарного уравнения реакции.
Разделение переменных
Уравнение вида \(\dfrac{dc}{dt} = f(c)\) решают разделением переменных: всё, что содержит \(c\), — в одну сторону, всё с \(t\) — в другую, затем интегрируют обе части в согласованных пределах.
edit_noteПервый порядок
\(\dfrac{dc}{c} = -k\,dt \;\Rightarrow\; \displaystyle\int_{c_0}^{c}\frac{dc}{c} = -k\int_0^t dt \;\Rightarrow\; \ln\frac{c}{c_0} = -kt \;\Rightarrow\; c = c_0e^{-kt}.\)
Отношение концентраций под логарифмом безразмерно, логарифм отношения линейно зависит от времени — это основа линеаризации из урока 10.
| Закон изменения | Решение \(c(t)\) | Период полупревращения |
|---|---|---|
| \(\dfrac{dc}{dt} = -k\) (нулевой порядок) | \(c = c_0 - kt\) | \(\dfrac{c_0}{2k}\) |
| \(\dfrac{dc}{dt} = -kc\) (первый) | \(c = c_0e^{-kt}\) | \(\dfrac{\ln 2}{k}\) |
| \(\dfrac{dc}{dt} = -kc^2\) (второй) | \(\dfrac1c = \dfrac{1}{c_0} + kt\) | \(\dfrac{1}{kc_0}\) |
ruleГде кончается модель
Решение нулевого порядка \(c = c_0 - kt\) формально уходит в минус после \(t = c_0/k\). Физически реагент к этому моменту кончился; модель верна только при \(c > 0\).
От закона скорости к зависимости от времени
Та же техника решает уравнения релаксации: если величина стремится к пределу \(x_\infty\) со скоростью, пропорциональной отклонению,
Здесь разделяют переменные для отклонения \(y = x_\infty - x\): \(\dfrac{dy}{dt} = -ky\). Так описываются накопление продукта, приближение к равновесию, установление температуры и давления (уроки 9 и 80).
edit_noteРадиоактивный распад
\(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N\), для \(^{14}\)C \(\lambda = 1{,}21\cdot10^{-4}\) год\(^{-1}\). Через 1000 лет \(N/N_0 = e^{-0{,}121} = 0{,}886\) — осталось 88,6 %.
infoРадиоуглеродные часы
Метод датировки по \(^{14}\)C разработал Уиллард Либби в 1949 году (Нобелевская премия 1960 года). Живой организм обменивается углеродом с атмосферой, и доля \(^{14}\)C в нём постоянна; после гибели обмен прекращается, и \(^{14}\)C распадается по экспоненте. Измерив долю, решают дифференциальное уравнение «назад» и находят возраст — до 50 тысяч лет.
lightbulbПлан решения
- Записать закон изменения (он дан или следует из модели).
- Разделить переменные.
- Проинтегрировать в пределах, согласованных с начальным условием.
- Выразить искомую величину и проверить подстановкой и предельными случаями (\(t = 0\), \(t \to \infty\)).
push_pinГлавное
Дифференциальное уравнение — закон изменения, его решение с начальным условием — сама зависимость \(c(t)\); переменные разделяют, обе части интегрируют, результат проверяют подстановкой.
Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.