Простейшие дифференциальные уравнения

9 заданий

Закон изменения и его решение

linkОпора

Урок 15. Интеграл как накопленное изменение — суммирование малых вкладов, площадь под графиком, определённый интеграл. Простые интегралы постоянной, степени и обратной величины
Урок 9. Экспонента и характерное время — показательная функция, экспоненциальное убывание и приближение к пределу. Период полупревращения и постоянная времени

Опыт часто даёт не саму зависимость \(c(t)\), а закон её изменения — связь скорости с текущим состоянием. Утверждение «скорость исчезновения вещества пропорциональна его концентрации» записывается так:

\[\frac{dc}{dt} = -kc.\]

Это дифференциальное уравнение первого порядка: неизвестна функция \(c(t)\), а в уравнение входит её производная. Минус описывает убывание; \(k\) — постоянная, её единица обратна единице времени.

Решение — функция, которая обращает уравнение в тождество. Таких функций целое семейство: \(c = Ce^{-kt}\) при любом \(C\). Начальное условие \(c(0) = c_0\) выбирает одну: \(C = c_0\).

task_altПроверка подстановкой

\(c = c_0e^{-kt} \Rightarrow \dfrac{dc}{dt} = -kc_0e^{-kt} = -kc\) — уравнение выполнено, и \(c(0) = c_0\). Подстановка — самая надёжная проверка решения.

errorМодель, а не следствие уравнения реакции

Закон \(dc/dt = -kc\) — установленная для конкретного процесса модель. Её нельзя вывести из коэффициентов суммарного уравнения реакции.

Разделение переменных

Уравнение вида \(\dfrac{dc}{dt} = f(c)\) решают разделением переменных: всё, что содержит \(c\), — в одну сторону, всё с \(t\) — в другую, затем интегрируют обе части в согласованных пределах (урок 15).

functionsПервый порядок

Делим обе части \(\dfrac{dc}{dt} = -kc\) на \(c\) и умножаем на \(dt\); концентрация меняется от \(c_0\) до \(c\), когда время меняется от 0 до \(t\):

\[\frac{dc}{c} = -k\,dt \;\Rightarrow\; \int_{c_0}^{c}\frac{dc}{c} = -k\int_0^t dt \;\Rightarrow\; \ln\frac{c}{c_0} = -kt \;\Rightarrow\; c = c_0e^{-kt}.\]

Отношение концентраций под логарифмом безразмерно, логарифм отношения линейно зависит от времени — это основа линеаризации из урока 10.

Закон изменения	Решение \(c(t)\)	Период полупревращения
\(\dfrac{dc}{dt} = -k\) (нулевой порядок)	\(c = c_0 - kt\)	\(\dfrac{c_0}{2k}\)
\(\dfrac{dc}{dt} = -kc\) (первый)	\(c = c_0e^{-kt}\)	\(\dfrac{\ln 2}{k}\)
\(\dfrac{dc}{dt} = -kc^2\) (второй)	\(\dfrac1c = \dfrac{1}{c_0} + kt\)	\(\dfrac{1}{kc_0}\)

Период полупревращения получают, подставив в решение \(c = c_0/2\).

Решения трёх законов с одинаковыми c0 и начальной скоростью: нулевой порядок исчерпывает реагент за конечное время, первый и второй — только асимптотически — Решения трёх законов с одинаковыми \(c_0\) и начальной скоростью: нулевой порядок исчерпывает реагент за конечное время, первый и второй — только асимптотически

ruleГде кончается модель

Решение нулевого порядка \(c = c_0 - kt\) формально уходит в минус после \(t = c_0/k\). Физически реагент к этому моменту кончился; модель верна только при \(c > 0\).

От закона скорости к зависимости от времени

Та же техника решает уравнения релаксации: если величина стремится к пределу \(x_\infty\) со скоростью, пропорциональной отклонению,

\[\frac{dx}{dt} = k(x_\infty - x) \;\Rightarrow\; x_\infty - x = (x_\infty - x_0)\,e^{-kt}.\]

Здесь разделяют переменные для отклонения \(y = x_\infty - x\): так как \(x_\infty\) постоянна, \(\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{dx}{dt} = -ky\) — снова первый порядок. Так описываются накопление продукта, приближение к равновесию, установление температуры и давления (уроки 9 и 88).

edit_noteРадиоактивный распад трития

\(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N\), для трития \(\lambda = 0{,}0563\) год\(^{-1}\) (период полураспада 12,3 года). Через 5,0 лет \(N/N_0 = e^{-0{,}0563\cdot5{,}0} = e^{-0{,}28} = 0{,}755\) — осталось 75,5 %. Поэтому тритиевые подсветки часов за десяток лет заметно тускнеют.

infoРадиоуглеродные часы

Метод датировки по \(^{14}\)C разработал Уиллард Либби в 1949 году (Нобелевская премия 1960 года). Живой организм обменивается углеродом с атмосферой, и доля \(^{14}\)C в нём постоянна; после гибели обмен прекращается, и \(^{14}\)C распадается по экспоненте. Измерив долю, решают дифференциальное уравнение в обратную сторону и находят возраст — до 50 тысяч лет.

lightbulbПлан решения

Записать закон изменения (он дан или следует из модели).
Разделить переменные.
Проинтегрировать в пределах, согласованных с начальным условием.
Выразить искомую величину и проверить подстановкой и предельными случаями (\(t = 0\), \(t \to \infty\)).

push_pinГлавное

Дифференциальное уравнение — закон изменения, его решение с начальным условием — сама зависимость \(c(t)\); переменные разделяют, обе части интегрируют, результат проверяют подстановкой. Нулевой, первый и второй порядки дают \(c_0 - kt\), \(c_0e^{-kt}\) и \(1/c = 1/c_0 + kt\); релаксация к пределу сводится к первому порядку для отклонения.

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.