Приближения и численное решение

9 заданий

Малый параметр

linkОпора

Урок 4. Уравнение и физически допустимый ответ — выражение неизвестной величины, линейные и квадратные уравнения, область допустимых значений. Положительный корень также проверяется по ограничениям задачи
Урок 14. Дифференциал и приближённые вычисления — дифференциал как линейная часть приращения; относительные изменения и логарифмическое дифференцирование; приближения для малых величин и оценка их точности

Если в выражении есть слагаемое, много меньшее остальных, его можно отбросить — но только с последующей проверкой.

functionsПриближения при \(|x| \ll 1\)

Приращение функции вблизи точки приближённо равно её дифференциалу (урок 14): \(f(1 + x) \approx f(1) + f'(1)\,x\). Для \((1 + x)^n\) производная в нуле равна \(n\), для \(e^x\) — 1, для \(\ln(1 + x)\) — тоже 1, поэтому

\[(1 + x)^n \approx 1 + nx, \qquad e^{x} \approx 1 + x, \qquad \ln(1 + x) \approx x.\]

Отброшенные слагаемые порядка \(x^2\): при \(x = 0{,}1\) это около процента.

\(x\)	\(\sqrt{1 + x}\) точно	\(1 + x/2\)	ошибка
0,01	1,00499	1,005	0,001 %
0,1	1,0488	1,05	0,1 %
0,5	1,2247	1,25	2 %

Чем меньше \(x\), тем точнее приближение; малым обычно считают член, дающий меньше 5 % от главного.

bookmarkСравнение вкладов

Прежде чем отбрасывать слагаемое, оцените его порядок относительно остальных. Если \(a = 0{,}10\), а \(b \sim 10^{-3}\), то \(a - b \approx a\) с ошибкой 1 %. Если \(b \sim 0{,}05\) — нельзя.

infoИз истории

Численные методы старше компьютеров почти на четыре тысячи лет. На вавилонской глиняной табличке YBC 7289 (около 1800 года до н. э.) записано \(\sqrt2 \approx 1{,}414\,213\) — шесть верных знаков; такую точность получают несколькими шагами последовательных приближений. Метод касательных для уточнения корней предложили Исаак Ньютон и Джозеф Рафсон в конце XVII века — им и сегодня пользуются калькуляторы.

Проверка отброшенного члена

Главное применение в химии — допустимость пренебрежения диссоциацией в материальном балансе. Для слабой кислоты с концентрацией \(c\) и константой \(K\):

\[\frac{x^2}{c - x} = K, \qquad x = [\ce{H+}].\]

Если кислота диссоциирует мало (\(x \ll c\)), в знаменателе \(c - x \approx c\) и \(x \approx \sqrt{Kc}\).

task_altПроверка приближения

После расчёта сравнивают отброшенный член с оставленным: \(x/c < 0{,}05\) — приближение допустимо.

Кислота	\(c\), моль/л	\(K\)	\(x \approx \sqrt{Kc}\)	\(x/c\)	вывод
хлорноватистая HClO	0,10	\(3{,}0\cdot10^{-8}\)	\(5{,}5\cdot10^{-5}\)	0,05 %	можно
фтороводородная HF	0,010	\(6{,}8\cdot10^{-4}\)	\(2{,}6\cdot10^{-3}\)	26 %	нельзя: точно \(2{,}29\cdot10^{-3}\)

errorПроверять обязательно

Сам расчёт по приближённой формуле никогда не сообщает, что она неприменима: при разбавлении кислоты или росте константы ответ \(\sqrt{Kc}\) плавно уходит от истины. Условие применимости проверяет только сравнение отброшенного члена.

Второе типичное пренебрежение — вклад воды: \([\ce{H+}]\) от автопротолиза \(\sim10^{-7}\) моль/л можно не учитывать, если кислота даёт \([\ce{H+}] \gg 10^{-7}\) (больше \(10^{-6}\)).

Численное решение: деление отрезка пополам

Если уравнение не решается формулой (кубическое, с экспонентой), корень находят численно. Самый надёжный метод — деление отрезка пополам.

functionМетод деления пополам

Если непрерывная функция \(f\) на концах отрезка \([a;\ b]\) имеет разные знаки, на нём есть корень. Берём середину \(m = (a + b)/2\) и оставляем ту половину, на концах которой знаки по-прежнему разные. Каждый шаг уменьшает отрезок вдвое: после \(n\) шагов длина \((b - a)/2^n\).

Деление пополам для f(x) = x - e-x: отрезок с корнем сужается вдвое на каждом шаге — Деление пополам для \(f(x) = x - e^{-x}\): отрезок с корнем сужается вдвое на каждом шаге

edit_noteКорень уравнения \(x = e^{-x}\)

Ищем нуль \(f(x) = x - e^{-x}\). \(f(0) = -1 < 0\), \(f(1) = 0{,}632 > 0\) — корень на \([0;\ 1]\). \(f(0{,}5) = -0{,}107\) → корень на \([0{,}5;\ 1]\). \(f(0{,}75) = 0{,}278\) → на \([0{,}5;\ 0{,}75]\). \(f(0{,}625) = 0{,}090\) → на \([0{,}5;\ 0{,}625]\). \(f(0{,}5625) = -0{,}007\) → на \([0{,}5625;\ 0{,}625]\). Продолжая, получим \(x = 0{,}567\).

functionsСколько шагов нужно

Чтобы отрезок длиной \(L\) сузился до \(\varepsilon\), нужно \(L/2^n \le \varepsilon\), то есть \(2^n \ge L/\varepsilon\) и

\[n \ge \frac{\lg(L/\varepsilon)}{\lg2}.\]

Например, чтобы сузить отрезок длиной 1 до \(10^{-6}\), нужно \(n \ge 6/0{,}301 = 19{,}9\) — хватит 20 шагов, это можно сделать даже вручную на калькуляторе.

lightbulbСначала оценка, потом численный расчёт

Аналитическая оценка (приближение) задаёт стартовый отрезок и порядок ответа, численный расчёт уточняет, а сравнение двух результатов проверяет оба.

push_pinГлавное

Приближения \((1 + x)^n \approx 1 + nx\), \(e^x \approx 1 + x\), \(\ln(1 + x) \approx x\) следуют из дифференциала. Приближение — гипотеза: отбросьте малый член, решите, проверьте, что он действительно мал (обычно меньше 5 %); если нет — решайте точно или численно. Деление пополам уменьшает отрезок с корнем вдвое за шаг: \(n \ge \lg(L/\varepsilon)/\lg2\).

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.