Приближения и численное решение
Малый параметр
Если в выражении есть слагаемое, много меньшее остальных, его можно отбросить — но только с последующей проверкой. Полезные приближения при \(|x| \ll 1\):
| \(x\) | \(\sqrt{1 + x}\) точно | \(1 + x/2\) | ошибка |
|---|---|---|---|
| 0,01 | 1,00499 | 1,005 | 0,001 % |
| 0,1 | 1,0488 | 1,05 | 0,1 % |
| 0,5 | 1,2247 | 1,25 | 2 % |
Чем меньше \(x\), тем точнее приближение; «малым» обычно считают член, дающий меньше 5 % от главного.
bookmarkСравнение вкладов
Прежде чем отбрасывать слагаемое, оцените его порядок относительно остальных. Если \(a = 0{,}10\), а \(b \sim 10^{-3}\), то \(a - b \approx a\) с ошибкой 1 %. Если \(b \sim 0{,}05\) — нельзя.
infoИз истории
Численные методы старше компьютеров почти на четыре тысячи лет. На вавилонской глиняной табличке YBC 7289 (около 1800 года до н. э.) записано \(\sqrt2 \approx 1{,}414\,213\) — шесть верных знаков; такую точность получают несколькими шагами последовательных приближений. Метод касательных для уточнения корней предложили Исаак Ньютон и Джозеф Рафсон в конце XVII века — им и сегодня пользуются калькуляторы.
Проверка отброшенного члена
Химическое применение модуля — допустимость пренебрежения диссоциацией в материальном балансе. Для слабой кислоты с концентрацией \(c\) и константой \(K\):
Если кислота диссоциирует мало (\(x \ll c\)), в знаменателе \(c - x \approx c\) и \(x \approx \sqrt{Kc}\).
task_altПроверка приближения
После расчёта сравнивают отброшенный член с оставленным: \(x/c < 0{,}05\) — приближение допустимо.
| \(c\), моль/л | \(K\) | \(x \approx \sqrt{Kc}\) | \(x/c\) | вывод |
|---|---|---|---|---|
| 0,10 | \(1{,}8\cdot10^{-5}\) | \(1{,}34\cdot10^{-3}\) | 1,3 % | можно |
| \(1{,}0\cdot10^{-4}\) | \(1{,}8\cdot10^{-5}\) | \(4{,}2\cdot10^{-5}\) | 42 % | нельзя: точно \(3{,}4\cdot10^{-5}\) |
errorПроверять обязательно
Сам расчёт по приближённой формуле никогда не сообщает, что она неприменима: при разбавлении кислоты ответ \(\sqrt{Kc}\) плавно уходит от истины. Условие применимости проверяет только сравнение отброшенного члена.
Второе типичное пренебрежение — вклад воды: \([\ce{H+}]\) от автопротолиза \(\sim10^{-7}\) моль/л можно не учитывать, если кислота даёт \([\ce{H+}] \gg 10^{-7}\) (больше \(10^{-6}\)).
Численное решение: деление отрезка пополам
Если уравнение не решается формулой (кубическое, с экспонентой), корень находят численно. Самый надёжный метод — деление отрезка пополам.
functionМетод деления пополам
Если непрерывная функция \(f\) на концах отрезка \([a;\ b]\) имеет разные знаки, на нём есть корень. Берём середину \(m = (a + b)/2\) и оставляем ту половину, на концах которой знаки по-прежнему разные. Каждый шаг уменьшает отрезок вдвое: после \(n\) шагов длина \((b - a)/2^n\).
edit_noteКорень \(x^3 + x - 1 = 0\)
\(f(0) = -1 < 0\), \(f(1) = 1 > 0\) — корень на \([0;\ 1]\). \(f(0{,}5) = -0{,}375\) → корень на \([0{,}5;\ 1]\). \(f(0{,}75) = 0{,}172\) → на \([0{,}5;\ 0{,}75]\). \(f(0{,}625) = -0{,}131\) → на \([0{,}625;\ 0{,}75]\). Через 10 шагов отрезок сузится до \(0{,}001\): \(x = 0{,}682\).
lightbulbСначала оценка, потом численный расчёт
Аналитическая оценка (приближение) задаёт стартовый отрезок и порядок ответа, численный расчёт уточняет, а сравнение двух результатов проверяет обоих.
lightbulbЛайфхак: сколько шагов нужно
\(2^{10} = 1024 \approx 10^3\): каждые 10 шагов деления пополам дают три верных десятичных знака. Чтобы сузить отрезок длиной 1 до \(10^{-6}\), хватит 20 шагов — это можно сделать даже вручную на калькуляторе.
push_pinГлавное
Приближение — гипотеза: отбросьте малый член, решите, проверьте, что он действительно мал (обычно меньше 5 %); если нет — решайте точно или численно.
Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.