Погрешности и итоговая математическая диагностика
Абсолютная и относительная погрешность
linkОпора
- Урок 14. Дифференциал и приближённые вычисления — дифференциал как линейная часть приращения; относительные изменения и логарифмическое дифференцирование; приближения для малых величин и оценка их точности
- Урок 10. Линеаризация экспериментальных данных — выбор координат, наклон и свободный член прямой. Показать превращение экспоненциальной зависимости в линейную и восстановление исходных параметров
Абсолютная погрешность \(\Delta x\) — в единицах величины: объём \(V = 25{,}00 \pm 0{,}03\) мл. Относительная \(\delta x = \Delta x / x\) — безразмерна: \(0{,}03/25{,}00 = 0{,}12\) %.
functionsПочему при умножении складываются относительные погрешности
Перемножим \(x + \Delta x\) и \(y + \Delta y\): \((x + \Delta x)(y + \Delta y) = xy + y\,\Delta x + x\,\Delta y + \Delta x\,\Delta y\). Последнее слагаемое — произведение двух малых, им пренебрегаем. Абсолютная погрешность произведения \(y\,\Delta x + x\,\Delta y\), а относительная — она же, делённая на \(xy\):
Для суммы и разности складываются абсолютные погрешности: \((x \pm \Delta x) + (y \pm \Delta y)\) может отличаться от \(x + y\) на \(\Delta x + \Delta y\).
functionКак погрешности переносятся в результат (оценка сверху)
| Действие | Что складывается | Пример |
|---|---|---|
| \(x + y\), \(x - y\) | абсолютные погрешности | \(\Delta(x - y) = \Delta x + \Delta y\) |
| \(xy\), \(x/y\) | относительные погрешности | \(\delta(c = n/V) = \delta n + \delta V\) |
| \(x^{n}\) | относительная, умноженная на \(|n|\) | \(\delta(r^3) = 3\,\delta r\) |
Если погрешности независимы и случайны, оценка точнее: складываются их квадраты (урок 121).
errorРазность близких чисел
При вычитании близких величин абсолютные погрешности складываются, а сама разность мала — относительная погрешность резко растёт. Масса навески \(50{,}37 - 50{,}12 = 0{,}25\) г при \(\pm0{,}02\) г у каждого взвешивания известна лишь с точностью \(\pm0{,}04\) г, то есть 16 %.
Повторные измерения: среднее и разброс
Случайные погрешности уменьшают повторением. По \(n\) измерениям находят
\(s\) — разброс отдельного измерения, \(s_{\bar x}\) — погрешность среднего: она убывает как \(1/\sqrt n\) (вывод — в уроке 121). Результат записывают как \(\bar x \pm s_{\bar x}\) с округлением погрешности до одной-двух значащих цифр и среднего — до того же разряда.
bookmarkСлучайная и систематическая погрешность
Случайная меняет знак от опыта к опыту и усредняется. Систематическая смещает все результаты в одну сторону: неоткалиброванная бюретка, неучтённый холостой опыт, теплопотери калориметра. Повторение её не уменьшает; её находят калибровкой, холостым опытом, сравнением с другим методом.
| Признак | Случайная | Систематическая |
|---|---|---|
| знак | меняется | постоянный |
| уменьшается повторением | да | нет |
| как бороться | больше измерений | калибровка, холостой опыт |
edit_noteРезультат трёх титрований
Объёмы: 24,52; 24,48; 24,55 мл. Среднее \(\bar x = 24{,}517\) мл; отклонения \(+0{,}003\), \(-0{,}037\), \(+0{,}033\); \(s = \sqrt{\dfrac{0{,}00247}{2}} = 0{,}035\) мл; погрешность среднего \(s/\sqrt3 = 0{,}020\) мл. Результат: \(V = 24{,}52 \pm 0{,}02\) мл — среднее округлено до того же разряда, что и погрешность.
Аппроксимация прямой и границы выводов
Прямую через экспериментальные точки проводят методом наименьших квадратов: наклон и отрезок выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений точек от прямой была минимальной.
functionsФормулы метода наименьших квадратов
Сумма квадратов отклонений \(S(a, b) = \sum(y_i - a - bx_i)^2\) — функция двух переменных. В минимуме обе частные производные равны нулю (урок 19). Из \(\partial S/\partial a = -2\sum(y_i - a - bx_i) = 0\) получаем \(a = \bar y - b\bar x\): прямая проходит через центр тяжести точек \((\bar x;\ \bar y)\). Подставив это в \(S\) и приравняв нулю \(\partial S/\partial b\), найдём
Остатки \(y_i - (a + bx_i)\) — главный инструмент проверки модели. Если они разбросаны случайно, модель согласуется с данными. Если выстраиваются в дугу (сначала плюс, потом минус, потом снова плюс), модель систематически не подходит — это ошибка модели, а не погрешность измерения.
errorКакие выводы данные действительно позволяют
- Хорошая прямая подтверждает согласие с моделью в измеренном диапазоне — не механизм и не поведение за его пределами.
- Две точки всегда лежат на прямой: для проверки линейности нужно не меньше пяти-шести точек.
- Погрешность параметров (наклона, отрезка) следует из разброса точек; без неё сравнивать результаты нельзя.
infoИз истории
Метод наименьших квадратов опубликовал Адриен Мари Лежандр в 1805 году, а Карл Фридрих Гаусс утверждал, что пользуется им с 1795 года. Знаменитый успех метода: в 1801 году астрономы потеряли только что открытую малую планету Цереру, и 24-летний Гаусс по немногим наблюдениям рассчитал её орбиту — в конце того же года Цереру нашли почти точно там, где он указал.
push_pinГлавное
Результат без погрешности неполон: среднее ± погрешность среднего. При умножении складываются относительные погрешности, при сложении — абсолютные (это следует из раскрытия скобок); повторение не убирает систематическую ошибку. Наклон и отрезок по методу наименьших квадратов следуют из минимума суммы квадратов отклонений; хорошая аппроксимация не доказывает модель.
Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.