Геометрия и тригонометрия в химии

10 заданий

Теорема Пифагора и диагонали куба

linkОпора

Урок 7. Степенные зависимости и масштабирование — степени, корни, отношения величин и безразмерные параметры. Изменение результата при увеличении аргумента в несколько раз

В прямоугольном треугольнике \(c^2 = a^2 + b^2\). В кубе с ребром \(a\) это даёт две главные длины:

диагональ грани — гипотенуза треугольника с катетами \(a\) и \(a\): \(d_\text{гр} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt2 \approx 1{,}414a\);
диагональ куба (через центр) — гипотенуза треугольника с катетами \(d_\text{гр}\) и \(a\): \(d_\text{куб} = \sqrt{d_\text{гр}^2 + a^2} = a\sqrt3 \approx 1{,}732a\).

Куб с ребром a: диагональ грани a√2 и пространственная диагональ a√3 — гипотенузы двух прямоугольных треугольников — Куб с ребром \(a\): диагональ грани \(a\sqrt2\) и пространственная диагональ \(a\sqrt3\) — гипотенузы двух прямоугольных треугольников

lightbulbГеометрия прежде вычислений

Любую задачу о кристаллической ячейке начинают с рисунка: где находятся атомы, какие из них касаются и вдоль какой линии. Формула выписывается по рисунку, а не вспоминается.

Объёмы: куб \(V = a^3\), шар \(V = \tfrac43\pi r^3\). При переводе единиц длины в объём приставка возводится в куб: \(1\) пм\(^3 = 10^{-36}\) м\(^3 = 10^{-30}\) см\(^3\).

Радиус атома и ребро ячейки

В трёх кубических ячейках атомы (шары) касаются вдоль разных линий:

Ячейка	Где атомы	Атомов в ячейке	Касание вдоль	Связь \(a\) и \(r\)
простая кубическая	вершины	\(8\cdot\tfrac18 = 1\)	ребра	\(a = 2r\)
ОЦК	вершины + центр	\(1 + 1 = 2\)	диагонали куба	\(a\sqrt3 = 4r\)
ГЦК	вершины + центры граней	\(1 + 6\cdot\tfrac12 = 4\)	диагонали грани	\(a\sqrt2 = 4r\)

Сечения ячеек через линию касания: в ОЦК четыре радиуса укладываются на диагонали куба, в ГЦК — на диагонали грани

Атом в вершине куба принадлежит восьми ячейкам (вклад \(\tfrac18\)), на грани — двум (\(\tfrac12\)), на ребре — четырём (\(\tfrac14\)), в центре — одной.

functionsДоля заполнения простой кубической ячейки

Доля заполнения — объём атомов в ячейке, делённый на объём ячейки. В простой кубической ячейке один атом и \(a = 2r\):

\[\eta = \frac{\tfrac43\pi r^3}{(2r)^3} = \frac{\pi}{6} = 0{,}52.\]

Почти половина объёма пуста. Для других ячеек расчёт тот же: число атомов в ячейке, объём шара, связь \(a\) и \(r\) по линии касания.

edit_noteНикель

Никель — ГЦК, \(a = 352{,}4\) пм. Касание по диагонали грани: \(4r = a\sqrt2\), \(r = \dfrac{352{,}4\cdot1{,}414}{4} = 124{,}6\) пм.

errorНеверный подсчёт долей

Частая ошибка — считать атом в вершине целиком: тогда в ГЦК получается 14 атомов вместо 4.

lightbulbЛайфхак: проверка радиуса

В простой кубической ячейке \(r = 0{,}500a\), в ОЦК \(0{,}433a\), в ГЦК \(0{,}354a\). Радиус атома больше половины ребра — верный признак ошибки: шары не поместятся в ячейку.

infoИз истории

Считается, что аббат Рене Жюст Гаюи однажды уронил кристалл кальцита и, разглядывая осколки, заметил: все они — ромбоэдры одной формы. В 1784 году он предположил, что кристалл сложен из одинаковых мельчайших блоков. Через сто с лишним лет рентгеновская дифракция (урок 116) подтвердила эту догадку: такой блок — это элементарная ячейка.

Углы, синус и отражение лучей

В прямоугольном треугольнике \(\sin\alpha = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\), \(\cos\alpha = \dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}\). Углы измеряют в градусах или радианах: полный оборот — это \(2\pi\) рад и \(360°\), поэтому \(\pi\) рад \(= 180°\) и \(1° = \pi/180 = 0{,}01745\) рад.

errorРежим калькулятора

\(\sin 30° = 0{,}5\), но \(\sin(30\ \text{рад}) = -0{,}988\). Перед расчётом проверьте режим DEG/RAD — это частая причина абсурдных ответов.

Отражение рентгеновских лучей

functionsРазность хода лучей

Лучи падают на соседние атомные плоскости, отстоящие на \(d\), под углом \(\theta\). Луч, отражённый нижней плоскостью, проходит лишний путь: на пути вниз и на пути вверх — по катету прямоугольного треугольника с гипотенузой \(d\) и углом \(\theta\), то есть по \(d\sin\theta\). Всего \(2d\sin\theta\). Отражение усиливается, когда эта разность кратна длине волны:

\[2d\sin\theta = n\lambda.\]

Разность хода лучей, отражённых соседними плоскостями, — 2dsinθ; угол θ отсчитывают от плоскости, а не от нормали — Разность хода лучей, отражённых соседними плоскостями, — \(2d\sin\theta\); угол \(\theta\) отсчитывают от плоскости, а не от нормали

Для кубической решётки межплоскостное расстояние связано с ребром: \(d_{hkl} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}\) — подробно это разбирается в уроке 116.

push_pinГлавное

Сначала рисунок, потом формула: в кубе диагональ грани \(a\sqrt2\), диагональ куба \(a\sqrt3\) — по теореме Пифагора; атомы касаются вдоль линии самой плотной укладки, отсюда \(a = 2r\), \(a\sqrt3 = 4r\), \(a\sqrt2 = 4r\). Доля заполнения — объём шаров в ячейке, делённый на \(a^3\). Углы — в градусах или радианах, но не вперемешку; разность хода лучей от соседних плоскостей \(2d\sin\theta\).

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.