Геометрия и тригонометрия в химии
Теорема Пифагора и диагонали куба
В прямоугольном треугольнике \(c^2 = a^2 + b^2\). В кубе с ребром \(a\) это даёт две главные длины:
- диагональ грани: \(d_\text{гр} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt2 \approx 1{,}414a\);
- диагональ куба (через центр): \(d_\text{куб} = \sqrt{d_\text{гр}^2 + a^2} = a\sqrt3 \approx 1{,}732a\).
lightbulbГеометрия прежде вычислений
Любую задачу о кристаллической ячейке начинают с рисунка: где находятся атомы, какие из них касаются и вдоль какой линии. Формула выписывается по рисунку, а не вспоминается.
Объёмы: куб \(V = a^3\), шар \(V = \tfrac43\pi r^3\). При переводе единиц длины в объём приставка возводится в куб: \(1\) пм\(^3 = 10^{-36}\) м\(^3 = 10^{-30}\) см\(^3\).
Радиус атома и ребро ячейки
В трёх кубических ячейках атомы (шары) касаются вдоль разных линий:
| Ячейка | Где атомы | Атомов в ячейке | Касание вдоль | Связь \(a\) и \(r\) | Доля заполнения |
|---|---|---|---|---|---|
| простая кубическая | вершины | \(8\cdot\tfrac18 = 1\) | ребра | \(a = 2r\) | 52 % |
| ОЦК | вершины + центр | \(1 + 1 = 2\) | диагонали куба | \(a\sqrt3 = 4r\) | 68 % |
| ГЦК | вершины + центры граней | \(1 + 6\cdot\tfrac12 = 4\) | диагонали грани | \(a\sqrt2 = 4r\) | 74 % |
Атом в вершине куба принадлежит восьми ячейкам (вклад \(\tfrac18\)), на грани — двум (\(\tfrac12\)), на ребре — четырём (\(\tfrac14\)), в центре — одной.
edit_noteМедь
Медь — ГЦК, \(a = 361{,}5\) пм. Касание по диагонали грани: \(4r = a\sqrt2\), \(r = \dfrac{361{,}5\cdot1{,}414}{4} = 127{,}8\) пм.
errorНеверный подсчёт долей
Частая ошибка — считать атом в вершине целиком: тогда в ГЦК получается 14 атомов вместо 4.
lightbulbЛайфхак: проверка радиуса
В простой кубической ячейке \(r = 0{,}500a\), в ОЦК \(0{,}433a\), в ГЦК \(0{,}354a\). Радиус атома больше половины ребра — верный признак ошибки: шары не поместятся в ячейку.
infoИз истории
Считается, что аббат Рене Жюст Гаюи однажды уронил кристалл кальцита и, разглядывая осколки, заметил: все они — ромбоэдры одной формы. В 1784 году он предположил, что кристалл сложен из одинаковых мельчайших «кирпичиков». Через сто с лишним лет рентгеновская дифракция (урок 106) подтвердила эту догадку: кирпичик — это элементарная ячейка.
Углы, синус и отражение лучей
В прямоугольном треугольнике \(\sin\alpha = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\), \(\cos\alpha = \dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}\). Углы измеряют в градусах или радианах: \(\pi\) рад \(= 180°\), \(1\) рад \(= 57{,}3°\).
errorРежим калькулятора
\(\sin 30° = 0{,}5\), но \(\sin(30\ \text{рад}) = -0{,}988\). Перед расчётом проверьте режим DEG/RAD — это частая причина абсурдных ответов.
Отражение рентгеновских лучей
Лучи, отражённые соседними атомными плоскостями с расстоянием \(d\), проходят разные пути. Из геометрии (два прямоугольных треугольника с углом \(\theta\)) разность хода равна \(2d\sin\theta\). Отражение усиливается, когда она кратна длине волны:
Для кубической решётки межплоскостное расстояние связано с ребром: \(d_{hkl} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}\) — подробно это разбирается в уроке о рентгеновской дифракции.
push_pinГлавное
Сначала рисунок, потом формула: в кубе диагональ грани \(a\sqrt2\), диагональ куба \(a\sqrt3\); атомы касаются вдоль линии самой плотной укладки; углы — в градусах или радианах, но не вперемешку.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.