Степенные зависимости и масштабирование
Степени и корни
linkОпора
- Урок 6. Функции и чтение графиков — оси, единицы, область определения, монотонность, пересечения и предельные значения. Отличать значение функции от изменения функции
functionСвойства степеней
\[x^a\cdot x^b = x^{a+b}, \qquad \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}, \qquad (x^a)^b = x^{ab}, \qquad (xy)^a = x^ay^a,\] \[x^{-n} = \frac{1}{x^n}, \qquad x^{1/n} = \sqrt[n]{x}, \qquad x^{0} = 1\ (x \ne 0).\]
functionsПочему \(x^{1/2} = \sqrt x\) и \(x^0 = 1\)
Свойства степеней с натуральным показателем следуют из счёта множителей (урок 1). Дробные, нулевой и отрицательные показатели определяют так, чтобы эти свойства сохранились. Из \((x^{1/2})^2 = x^{1/2\cdot2} = x\) следует, что \(x^{1/2}\) — число, квадрат которого равен \(x\), то есть \(\sqrt x\). Из \(x^a/x^a = x^0\) и \(x^a/x^a = 1\) следует \(x^0 = 1\), а из \(x^0/x^n = x^{-n}\) — \(x^{-n} = 1/x^n\).
Дробный показатель — это корень: \(c^{1/2} = \sqrt c\), \(c^{5/2} = c^2\sqrt c\). Такие показатели встречаются в кинетике (порядок 1/2 или 3/2 у цепных реакций) и в теории газов (\(u \propto T^{1/2}\)).
errorСтепень суммы
\((a + b)^2 \ne a^2 + b^2\), а \(\sqrt{a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b\). Степень распределяется по множителям, но не по слагаемым.
Отношения и масштабирование
Во многих задачах важно не само значение, а то, во сколько раз оно изменится. Для степенной зависимости \(y = kx^n\)
и неизвестная константа \(k\) сокращается. Это основа быстрых оценок и проверок.
| Зависимость | Аргумент увеличили в 2 раза | в 4 раза |
|---|---|---|
| \(y \propto x\) | \(\times 2\) | \(\times 4\) |
| \(y \propto x^2\) (площадь круга по радиусу) | \(\times 4\) | \(\times 16\) |
| \(y \propto x^3\) (объём шара) | \(\times 8\) | \(\times 64\) |
| \(y \propto \sqrt x\) (скорость молекул от \(T\)) | \(\times 1{,}41\) | \(\times 2\) |
| \(y \propto 1/x\) (объём газа от давления) | \(\times 0{,}5\) | \(\times 0{,}25\) |
lightbulbБезразмерные отношения
Отношения \(T_2/T_1\), \(c_2/c_1\), \(r/r_0\) безразмерны — их удобно сравнивать между задачами. Если температуру подставить в градусах Цельсия, отношение получится неверным: \(T_2/T_1\) имеет смысл только в кельвинах.
edit_noteСкорость молекул при нагревании
Газ нагрели от 27 до 327 °C. Во сколько раз выросла средняя скорость молекул? \(u \propto \sqrt T\), поэтому \(\dfrac{u_2}{u_1} = \sqrt{\dfrac{600\ \text{К}}{300\ \text{К}}} = \sqrt2 = 1{,}41\). Если по ошибке взять градусы Цельсия, получится \(\sqrt{327/27} = 3{,}5\) — в два с половиной раза больше правды.
infoЗакон квадрата — куба
Галилей в «Беседах о двух новых науках» (1638) заметил: если все размеры тела увеличить в \(k\) раз, площадь вырастет в \(k^2\), а объём и масса — в \(k^3\) раз. Поэтому кости великана не выдержали бы собственного веса, а мелкие частицы имеют огромную поверхность на грамм вещества — к этому мы вернёмся в уроке 117.
Порядок реакции по начальным скоростям
Скорость реакции часто подчиняется степенному закону \(v = k\,c^{n}\), где \(n\) — порядок по реагенту.
functionsПорядок по двум опытам
Проведём два опыта с разными начальными концентрациями \(c_1\) и \(c_2\). В отношении скоростей константа \(k\) сократится:
Логарифмируем обе части (урок 8): \(\lg\dfrac{v_2}{v_1} = n\lg\dfrac{c_2}{c_1}\), откуда
Удвоили концентрацию, а скорость выросла в 4 раза — \(n = 2\); в 2 раза — \(n = 1\); не изменилась — \(n = 0\). Нецелый результат тоже возможен: если при утроении концентрации скорость выросла в 1,73 раза, \(n = \lg1{,}73/\lg3 = 0{,}50\).
Если реагентов несколько, \(v = k[\text{A}]^a[\text{B}]^b\), то в паре опытов меняют только одну концентрацию — иначе вклады не разделить.
errorПорядок — из опыта, а не из уравнения
Порядок реакции — характеристика экспериментального закона скорости. Для \(\ce{2NO + O2 -> 2NO2}\) он случайно совпадает с коэффициентами, а для \(\ce{H2 + Br2 -> 2HBr}\) закон скорости сложный и вовсе не степенной. Коэффициенты суммарного уравнения порядок не определяют.
push_pinГлавное
Для \(y = kx^n\) отношение \(y_2/y_1 = (x_2/x_1)^n\) — константа сокращается, а показатель находят логарифмированием отношения: \(n = \lg(y_2/y_1)/\lg(x_2/x_1)\). Дробные, нулевой и отрицательные показатели определены так, чтобы сохранились свойства степеней. Отношения температур берут только в кельвинах.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.