Степенные зависимости и масштабирование
Степени и корни
functionСвойства степеней
\[x^a\cdot x^b = x^{a+b}, \qquad \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}, \qquad (x^a)^b = x^{ab}, \qquad (xy)^a = x^ay^a,\] \[x^{-n} = \frac{1}{x^n}, \qquad x^{1/n} = \sqrt[n]{x}, \qquad x^{0} = 1\ (x \ne 0).\]
Дробный показатель — это корень: \(c^{1/2} = \sqrt c\), \(c^{3/2} = c\sqrt c\). Такие показатели встречаются в кинетике (порядок 1/2 или 3/2 у цепных реакций) и в теории газов (\(u \propto T^{1/2}\)).
errorСтепень суммы
\((a + b)^2 \ne a^2 + b^2\), а \(\sqrt{a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b\). Степень распределяется по множителям, но не по слагаемым.
Отношения и масштабирование
Во многих задачах важно не само значение, а то, во сколько раз оно изменится. Для степенной зависимости \(y = kx^n\)
и неизвестная константа \(k\) сокращается. Это основа быстрых оценок и проверок.
| Зависимость | Аргумент увеличили в 2 раза | в 4 раза |
|---|---|---|
| \(y \propto x\) | \(\times 2\) | \(\times 4\) |
| \(y \propto x^2\) (площадь круга по радиусу) | \(\times 4\) | \(\times 16\) |
| \(y \propto x^3\) (объём шара) | \(\times 8\) | \(\times 64\) |
| \(y \propto \sqrt x\) (скорость молекул от \(T\)) | \(\times 1{,}41\) | \(\times 2\) |
| \(y \propto 1/x\) (объём газа от давления) | \(\times 0{,}5\) | \(\times 0{,}25\) |
lightbulbБезразмерные отношения
Отношения \(T_2/T_1\), \(c_2/c_1\), \(r/r_0\) безразмерны — их удобно сравнивать между задачами. Если температуру подставить в градусах Цельсия, отношение получится неверным: \(T_2/T_1\) имеет смысл только в кельвинах.
edit_noteРазбор: скорость молекул при нагревании
Газ нагрели от 27 до 927 °C. Во сколько раз выросла средняя скорость молекул? \(u \propto \sqrt T\), поэтому \(\dfrac{u_2}{u_1} = \sqrt{\dfrac{1200\ \text{К}}{300\ \text{К}}} = \sqrt4 = 2\). Если по ошибке взять градусы Цельсия, получится \(\sqrt{927/27} = 5{,}9\) — втрое больше правды.
infoЗакон квадрата — куба
Галилей в «Беседах о двух новых науках» (1638) заметил: если все размеры тела увеличить в \(k\) раз, площадь вырастет в \(k^2\), а объём и масса — в \(k^3\) раз. Поэтому кости великана не выдержали бы собственного веса, а мелкие частицы имеют огромную поверхность на грамм вещества — к этому мы вернёмся в уроке 107.
Порядок реакции по начальным скоростям
Скорость реакции часто подчиняется степенному закону \(v = k\,c^{n}\), где \(n\) — порядок по реагенту. Если провести два опыта с разными начальными концентрациями, константа \(k\) сократится:
Удвоили концентрацию, а скорость выросла в 4 раза — \(n = 2\); в 2 раза — \(n = 1\); не изменилась — \(n = 0\). Нецелый результат, например \(n = 1{,}5\), тоже возможен.
Если реагентов несколько, \(v = k[\text{A}]^a[\text{B}]^b\), то в паре опытов меняют только одну концентрацию — иначе вклады не разделить.
errorПорядок — из опыта, а не из уравнения
Порядок реакции — характеристика экспериментального закона скорости. Для \(\ce{2NO + O2 -> 2NO2}\) он случайно совпадает с коэффициентами, а для \(\ce{H2 + Br2 -> 2HBr}\) закон скорости сложный и вовсе не степенной. Коэффициенты суммарного уравнения порядок не определяют.
push_pinГлавное
Для \(y = kx^n\) отношение \(y_2/y_1 = (x_2/x_1)^n\) — константа сокращается, а показатель находят логарифмированием отношения.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.