Десятичный и натуральный логарифмы
Что такое логарифм
linkОпора
- Урок 7. Степенные зависимости и масштабирование — степени, корни, отношения величин и безразмерные параметры. Изменение результата при увеличении аргумента в несколько раз
bookmarkЛогарифм
\(\log_a b = x\) означает \(a^x = b\) (\(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\)). Десятичный логарифм \(\lg b = \log_{10} b\) отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить \(b\); натуральный \(\ln b = \log_e b\), где \(e = 2{,}718\ldots\)
Десятичный логарифм считает порядки: \(\lg 1000 = 3\), \(\lg 1 = 0\), \(\lg 0{,}01 = -2\). Для числа в стандартном виде
поэтому целая часть логарифма — порядок, а дробная — мантисса: \(\lg(5\cdot10^{-4}) = -4 + 0{,}699 = -3{,}301\).
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(10\) | \(10^{-5}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\lg x\) | \(0\) | \(0{,}301\) | \(0{,}477\) | \(0{,}699\) | \(1\) | \(-5\) |
Обратная операция — возведение в степень: если \(\lg x = -6{,}7\), то \(x = 10^{-6{,}7} = 10^{0{,}3}\cdot10^{-7} = 2{,}0\cdot10^{-7}\).
infoИз истории
Логарифмы изобрёл шотландский математик Джон Непер (1614), чтобы облегчить астрономам громоздкие умножения: по таблицам логарифмов умножение сводилось к сложению. На том же принципе работала логарифмическая линейка — ею инженеры и химики пользовались больше трёхсот лет, до карманных калькуляторов 1970-х годов.
Правила преобразования
functionСвойства логарифмов
Переход между основаниями: \(\ln x = \ln 10\cdot\lg x = 2{,}303\,\lg x\).
functionsОткуда свойства логарифмов
Запишем \(a = 10^p\) и \(b = 10^q\), то есть \(p = \lg a\), \(q = \lg b\). По свойствам степеней (урок 7) \(ab = 10^{p+q}\), \(a/b = 10^{p-q}\), \(a^n = 10^{np}\); логарифмы этих чисел — \(p + q\), \(p - q\) и \(np\). Для перехода между основаниями запишем одно и то же число двумя способами: \(x = 10^{\lg x}\) и \(10 = e^{\ln 10}\), поэтому \(x = e^{\ln 10\cdot\lg x}\), и \(\ln x = \ln 10\cdot\lg x\), где \(\ln 10 = 2{,}303\).
Логарифм превращает умножение в сложение: константа суммарной реакции равна произведению констант стадий, поэтому \(\lg K = \lg K_1 + \lg K_2\). Степень превращается в множитель: \(\lg c^2 = 2\lg c\).
errorlg или ln
В термодинамике стоит натуральный логарифм: \(\Delta G^\circ = -RT\ln K\). Подставить в неё \(\lg K\) — значит ошибиться в 2,303 раза. Удобно один раз вычислить множитель \(RT\ln 10\) при нужной температуре и дальше писать \(\Delta G^\circ = -(RT\ln 10)\lg K\).
errorЛогарифм суммы
\(\lg(a + b) \ne \lg a + \lg b\). Сумму под логарифмом разбить нельзя — только произведение.
pH, pK и логарифм безразмерной величины
bookmarkВодородный показатель
\(\mathrm{pH} = -\lg a(\ce{H+}) \approx -\lg\dfrac{[\ce{H+}]}{c^\circ}\), где \(c^\circ = 1\) моль/л — стандартная концентрация. Аналогично \(\mathrm{p}K = -\lg K\).
functionsРазность pH — отношение концентраций
Для двух растворов \(\mathrm{pH}_1 - \mathrm{pH}_2 = \lg[\ce{H+}]_2 - \lg[\ce{H+}]_1 = \lg\dfrac{[\ce{H+}]_2}{[\ce{H+}]_1}\), поэтому
Изменение pH на единицу — это изменение концентрации ионов водорода в 10 раз. pH уменьшился на 3 — ионов \(\ce{H+}\) стало в 1000 раз больше; на 0,3 — вдвое (\(\lg 2 = 0{,}30\)).
| pH | 1 | 3 | 7 | 7,3 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| \([\ce{H+}]\), моль/л | \(10^{-1}\) | \(10^{-3}\) | \(10^{-7}\) | \(5\cdot10^{-8}\) | \(10^{-11}\) |
errorЛогарифм размерной величины
Логарифм определён только для безразмерного числа: выражение \(\lg(10^{-3}\) моль/л\()\) не имеет смысла — в других единицах (моль/м³) под логарифмом стояло бы другое число, и pH зависел бы от выбора единиц. Поэтому под логарифмом всегда отношение: \([\ce{H+}]/c^\circ\) или активность. То же с константами: в \(\lg K\) стоит безразмерная термодинамическая константа.
edit_noteНасколько кислее?
Дождь с pH 4,6 и дождь с pH 5,6. Разность pH — единица, значит, ионов водорода в первом в 10 раз больше. А при pH 4,3 и 5,6 (разность 1,3) — в \(10^{1{,}3} = 20\) раз. Разность pH превращается в отношение концентраций.
infoИз истории
Шкалу pH предложил в 1909 году датский химик Сёрен Сёренсен, работавший в лаборатории пивоваренной компании «Карлсберг»: кислотность сусла влияла на работу ферментов, и понадобился удобный способ записывать концентрации от \(10^{-1}\) до \(10^{-14}\) моль/л.
push_pinГлавное
Логарифм считает порядки: свойства логарифмов следуют из свойств степеней — логарифм произведения равен сумме логарифмов; \(\ln x = 2{,}303\lg x\). Разность pH — логарифм отношения концентраций: изменение pH на 1 означает изменение \([\ce{H+}]\) в 10 раз. Под логарифмом — только безразмерное число.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.