Экспонента и характерное время
Одинаковая доля за равные промежутки
linkОпора
- Урок 8. Десятичный и натуральный логарифмы — смысл логарифма, правила преобразования, переход между основаниями. Отдельно обсудить, почему логарифмируют безразмерное отношение или активность
Наблюдение: в учебной таблице через каждые 5 минут остаётся 80 % предыдущего количества вещества.
| \(t\), мин | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(n\), ммоль | 100 | 80 | 64 | 51,2 | 41,0 |
Убыль за равные промежутки не одинакова (20, 16, 12,8 …), одинакова доля: каждый раз остаётся 0,8. Такая зависимость — показательная: \(n = n_0\cdot0{,}8^{t/5}\). Кривая убывает всё медленнее и не обращается в нуль за конечное время.
bookmarkЭкспонента
\(y = y_0\,e^{-kt}\), где \(e = 2{,}718\ldots\), \(k > 0\) — постоянная (её единица обратна единице времени).
functionsЛюбая показательная функция — экспонента
Число 0,8 можно записать как степень \(e\): \(0{,}8 = e^{\ln0{,}8}\). Тогда \(0{,}8^{t/5} = e^{(t/5)\ln0{,}8} = e^{-kt}\), где
Из свойства \(e^{a+b} = e^ae^b\) следует главное: за каждый промежуток \(\Delta t\) величина умножается на один и тот же множитель \(e^{-k\Delta t}\), где бы ни начинался промежуток.
Ещё два свойства: \(e^{0} = 1\); \(e^{-x} \to 0\) при \(x \to \infty\), но нуля не достигает.
errorОдинаковая доля или одинаковое количество
Если за равные промежутки уходит одинаковое количество, зависимость линейная, и вещество кончится за конечное время. Если одинаковая доля — экспоненциальная. Путать их — значит ошибаться в прогнозе в разы.
Период полупревращения и постоянная времени
functionsХарактерные времена экспоненты \(c = c_0e^{-kt}\)
Период полупревращения \(t_{1/2}\) — время, за которое остаётся половина: \(e^{-kt_{1/2}} = \dfrac12\). Логарифмируем: \(-kt_{1/2} = \ln\dfrac12 = -\ln2\), откуда
Постоянная времени \(\tau = 1/k\): за время \(\tau\) остаётся \(e^{-1} = 0{,}368\), то есть 37 %. Обе величины не зависят от \(c_0\): сколько бы вещества ни было, половина его исчезает за одно и то же время.
После \(n\) периодов полупревращения остаётся \((1/2)^n\): четверть после двух, шестнадцатая часть после четырёх. Нуль не достигается никогда: каждый период уменьшает вдвое то, что осталось, а не исходное количество.
edit_noteДва способа — один ответ
За 20 мин концентрация уменьшилась до четверти начальной. Способ 1: четверть — это два периода полупревращения, значит, \(t_{1/2} = 10\) мин и \(k = 0{,}693/10 = 0{,}0693\) мин\(^{-1}\). Способ 2: из \(c = c_0e^{-kt}\) получаем \(k = \dfrac{\ln(c_0/c)}{t} = \dfrac{\ln 4}{20} = 0{,}0693\) мин\(^{-1}\). Результаты совпали.
infoУдвоение концентрации
Если удвоить начальную концентрацию, начальная скорость (\(kc_0\)) удвоится, а период полупревращения не изменится: он зависит только от \(k\). Это признак первого порядка.
infoИз истории
Экспоненциальный закон радиоактивного распада установили Эрнест Резерфорд и Фредерик Содди в 1902–1903 годах, а понятие периода полураспада Резерфорд ввёл в 1907 году. Для каждого изотопа он свой: у \(^{14}\)C — 5730 лет, у \(^{131}\)I — 8 суток, у \(^{238}\)U — 4,5 миллиарда лет.
lightbulbЛайфхак: правило 70
Время удвоения (или уменьшения вдвое) при росте на \(p\) % за единицу времени примерно равно \(70/p\): вклад под 7 % годовых удвоится примерно за 10 лет. Правило следует из \(\ln2 = 0{,}693 \approx 0{,}70\) и приближения \(\ln(1 + x) \approx x\) (урок 22).
Приближение к пределу
Продукт реакции \(\text{A} \to \text{B}\) накапливается: \(c_\text{B} = c_0 - c_\text{A} = c_0(1 - e^{-kt})\). Кривая растёт всё медленнее и стремится к пределу \(c_0\).
Главное здесь: экспоненциально убывает не сама величина, а её отклонение от предела:
За один период полупревращения продукт набирает половину предела, за два — 75 %, за \(3\tau\) — 95 %.
edit_noteРелаксация давления
В сосуде идёт процесс, после которого давление стремится к \(p_\infty\). Если отклонение убывает экспоненциально, \(p_\infty - p = (p_\infty - p_0)\,e^{-t/\tau}\). При \(p_0 = 50\) кПа, \(p_\infty = 80\) кПа, \(\tau = 4{,}0\) мин через 6,0 мин: \(p = 80 - 30\,e^{-1{,}5} = 73{,}3\) кПа.
errorЗакон убывания — к отклонению
Типичная ошибка: применить \(e^{-kt}\) к полной величине, которая растёт к ненулевому пределу. Сигнал прибора, давление, масса продукта приближаются к пределу — экспоненциально уменьшается разность между пределом и текущим значением.
task_altКак изменится обработка, если прибор измеряет продукт
По накоплению продукта \(k\) находят из \(\ln\dfrac{c_\infty}{c_\infty - c_\text{B}} = kt\) — через отклонение от предела, а не через сам сигнал.
push_pinГлавное
Экспонента — постоянная доля за равные промежутки: за период полупревращения \(t_{1/2} = \ln2/k\) остаётся половина, за постоянную времени \(\tau = 1/k\) — 37 %, и оба времени не зависят от начального количества. Продукт приближается к пределу, а экспоненциально убывает его отклонение от предела.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.