Элементарная ячейка и плотность
Ячейка и подсчёт частиц
Кристалл поваренной соли — это миллиарды одинаковых «кирпичиков», сложенных без зазоров. Зная один такой кирпичик — элементарную ячейку, — можно рассчитать плотность вещества, не взвешивая его, и наоборот: по плотности узнать размер атома.
Элементарная ячейка — наименьший параллелепипед, повторением (сдвигами) которого строится весь кристалл. Для кубической ячейки достаточно одного параметра — длины ребра \(a\). Главная тонкость — подсчёт частиц: частица на границе ячейки делится между соседними ячейками.
| Положение частицы | Сколько ячеек её делят | Доля в ячейке |
|---|---|---|
| вершина куба | 8 | ⅛ |
| ребро | 4 | ¼ |
| грань | 2 | ½ |
| внутри | 1 | 1 |
| Ячейка | Атомов в ячейке | Координационное число | Атомы касаются | Доля заполнения |
|---|---|---|---|---|
| простая кубическая | 1 | 6 | по ребру: \(2r = a\) | 52 % |
| объёмноцентрированная (ОЦК) | 2 | 8 | по диагонали куба: \(4r = a\sqrt3\) | 68 % |
| гранецентрированная (ГЦК) | 4 | 12 | по диагонали грани: \(4r = a\sqrt2\) | 74 % |
Координационное число (КЧ) — число ближайших соседей. ГЦК-решётка — это кубическая плотнейшая упаковка шаров (слои ABCABC…); гексагональная плотнейшая (ABAB…) так же плотна: 74 %, КЧ 12.
В ионных кристаллах считают формульные единицы \(Z\). Структура каменной соли NaCl — ГЦК-решётка из ионов \(\ce{Cl-}\), ионы \(\ce{Na+}\) в октаэдрических пустотах: \(Z = 4\).
errorCsCl — не ОЦК
В структуре CsCl ион \(\ce{Cs+}\) в центре куба из ионов \(\ce{Cl-}\). Центр и вершины заняты разными ионами, поэтому сдвиг на половину диагонали не совмещает кристалл сам с собой: это простая кубическая решётка с двумя ионами в ячейке, \(Z = 1\).
Плотность и размер атомов
Масса ячейки — это \(Z\) формульных единиц, каждая массой \(M/N_A\); объём — \(a^3\). Отсюда
Проверим на меди (ГЦК, \(a = 361{,}5\) пм): \(\rho = \dfrac{4\cdot63{,}55}{6{,}022\cdot10^{23}\cdot(3{,}615\cdot10^{-8})^3} = 8{,}93\) г/см³ — табличное значение 8,96 г/см³.
Формулу можно читать в любую сторону: по плотности и типу решётки найти \(a\), по \(a\) и плотности — число частиц в ячейке (так в начале XX века уточняли число Авогадро и подтверждали структуры).
Радиус атома находят по направлению, вдоль которого шары касаются: в ГЦК — по диагонали грани (\(4r = a\sqrt2\), для меди \(r = 128\) пм), в ОЦК — по диагонали куба (\(4r = a\sqrt3\)), в простой — по ребру (\(2r = a\)).
task_altЕдиницы
Параметр решётки дают в пикометрах: \(1\) пм \(= 10^{-10}\) см, поэтому \(a^3\) в см³ — число порядка \(10^{-23}\). Плотность твёрдых тел — от 1 до 22 г/см³; ответ вне этих пределов — сигнал ошибки в степенях.
infoИз истории
В 1611 году Иоганн Кеплер предположил, что плотнее, чем в ГЦК-упаковке (так складывают апельсины на прилавке), одинаковые шары уложить нельзя. Доказал это лишь в 1998 году Томас Хейлс — с помощью компьютера, а полностью проверенное компьютером доказательство появилось в 2014 году. Формула \(\rho = ZM/(N_Aa^3)\) послужила и метрологии: в международном проекте «Авогадро» сосчитали атомы в почти идеальном шаре из кремния-28, измерив его массу, объём и параметр решётки, и нашли постоянную Авогадро с относительной погрешностью около \(10^{-8}\). Эти измерения легли в основу нового определения килограмма (2019).
push_pinГлавное
Частица в вершине ячейки принадлежит ей на ⅛, на ребре — на ¼, на грани — на ½, внутри — целиком. Простая кубическая ячейка содержит 1 атом (КЧ 6), ОЦК — 2 (КЧ 8), ГЦК — 4 (КЧ 12, плотнейшая упаковка, 74 %). Плотность \(\rho = ZM/(N_Aa^3)\). Радиус — по направлению касания: \(2r = a\), \(4r = a\sqrt3\) (ОЦК), \(4r = a\sqrt2\) (ГЦК). CsCl — простая кубическая решётка с двумя ионами, а не ОЦК.
Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.