Элементарная ячейка и плотность

9 заданий

Ячейка и подсчёт частиц

linkОпора

Урок 11. Геометрия и тригонометрия в химии — теорема Пифагора, синус и косинус, градусы и радианы; объёмы шара и ячейки. Геометрические построения предваряют вычисления
Урок 25. Количество вещества и стехиометрическая модель — моль, частицы, молярная масса, коэффициенты реакции. Степень протекания реакции и её связь с изменением количеств компонентов

Кристалл поваренной соли сложен из одинаковых повторяющихся блоков без зазоров. Зная один такой блок — элементарную ячейку, — можно рассчитать плотность вещества, не взвешивая его, и наоборот: по плотности узнать размер атома.

Элементарная ячейка — наименьший параллелепипед, повторением (сдвигами) которого строится весь кристалл. Для кубической ячейки достаточно одного параметра — длины ребра \(a\). Главная тонкость — подсчёт частиц: частица на границе ячейки делится между соседними ячейками.

Положение частицы	Сколько ячеек её делят	Доля в ячейке
вершина куба	8	⅛
ребро	4	¼
грань	2	½
внутри	1	1

Кубические ячейки: простая (1 атом), объёмноцентрированная (2 атома) и гранецентрированная (4 атома); доли атомов в вершинах и на гранях

Ячейка	Атомов в ячейке	Координационное число	Атомы касаются
простая кубическая	1	6	по ребру: \(2r = a\)
объёмноцентрированная (ОЦК)	2	8	по диагонали куба: \(4r = a\sqrt3\)
гранецентрированная (ГЦК)	4	12	по диагонали грани: \(4r = a\sqrt2\)

Координационное число (КЧ) — число ближайших соседей. В ОЦК-ячейке атом в центре касается восьми атомов в вершинах: КЧ 8.

functionsГде касаются атомы и сколько места они занимают

Диагональ грани куба по теореме Пифагора равна \(a\sqrt2\), диагональ куба — \(\sqrt{a^2 + (a\sqrt2)^2} = a\sqrt3\). В простой ячейке шары касаются по ребру (\(2r = a\)), в ОЦК — по диагонали куба, где укладываются два радиуса крайних атомов и диаметр центрального (\(4r = a\sqrt3\)), в ГЦК — по диагонали грани (\(4r = a\sqrt2\)). Доля заполнения — объём шаров в ячейке, делённый на \(a^3\). Для простой ячейки один шар и \(a = 2r\):

\[\eta = \frac{\tfrac43\pi r^3}{(2r)^3} = \frac{\pi}{6} = 0{,}52.\]

Для ГЦК четыре шара и \(a = 2\sqrt2\,r\):

\[\eta = \frac{4\cdot\tfrac43\pi r^3}{(2\sqrt2\,r)^3} = \frac{\pi}{3\sqrt2} = 0{,}74.\]

ГЦК-решётка — это кубическая плотнейшая упаковка шаров (слои ABCABC…); гексагональная плотнейшая упаковка (ABAB…) так же плотна: 74 %, КЧ 12.

В ионных кристаллах считают формульные единицы \(Z\). Структура каменной соли NaCl — ГЦК-решётка из ионов \(\ce{Cl-}\) (8 · ⅛ + 6 · ½ = 4 иона), ионы \(\ce{Na+}\) — в серединах рёбер и в центре куба (12 · ¼ + 1 = 4 иона): \(Z = 4\).

errorCsCl — не ОЦК

В структуре CsCl ион \(\ce{Cs+}\) в центре куба из ионов \(\ce{Cl-}\). Центр и вершины заняты разными ионами, поэтому сдвиг на половину диагонали не совмещает кристалл сам с собой: это простая кубическая решётка с двумя ионами в ячейке, \(Z = 1\).

Плотность и размер атомов

functionsПлотность кристалла

Масса ячейки — это \(Z\) формульных единиц массой \(M/N_A\) каждая, объём ячейки — \(a^3\). Плотность — масса, делённая на объём:

\[\rho = \frac{ZM}{N_Aa^3}.\]

edit_noteЖелезо

Железо при комнатной температуре имеет ОЦК-решётку с \(a = 286{,}6\) пм \(= 2{,}866\cdot10^{-8}\) см. Плотность

\[\rho = \frac{2\cdot55{,}85}{6{,}022\cdot10^{23}\cdot(2{,}866\cdot10^{-8})^3} = 7{,}88\ \text{г/см}^3\]

(табличное значение 7,87 г/см³). Атомы касаются по диагонали куба: \(r = a\sqrt3/4 = 124\) пм.

Формулу можно читать в любую сторону: по плотности и типу решётки найти \(a\), по \(a\) и плотности — число частиц в ячейке (так в начале XX века уточняли постоянную Авогадро и подтверждали структуры).

task_altЕдиницы

Параметр решётки дают в пикометрах: \(1\) пм \(= 10^{-10}\) см, поэтому \(a^3\) в см³ — число порядка \(10^{-23}\). Плотность твёрдых тел — от 1 до 22 г/см³; ответ вне этих пределов — сигнал ошибки в степенях.

infoИз истории

В 1611 году Иоганн Кеплер предположил, что плотнее, чем в ГЦК-упаковке (так складывают апельсины на прилавке), одинаковые шары уложить нельзя. Доказал это лишь в 1998 году Томас Хейлс — с помощью компьютера, а полностью проверенное компьютером доказательство появилось в 2014 году. Формула \(\rho = ZM/(N_Aa^3)\) послужила и метрологии: в международном проекте «Авогадро» сосчитали атомы в почти идеальном шаре из кремния-28, измерив его массу, объём и параметр решётки, и нашли постоянную Авогадро с относительной погрешностью около \(10^{-8}\). Эти измерения легли в основу нового определения килограмма (2019).

push_pinГлавное

Частица в вершине ячейки принадлежит ей на ⅛, на ребре — на ¼, на грани — на ½, внутри — целиком. Простая кубическая ячейка содержит 1 атом (КЧ 6), ОЦК — 2 (КЧ 8), ГЦК — 4 (КЧ 12, плотнейшая упаковка, \(\pi/(3\sqrt2) = 74\) %). Плотность \(\rho = ZM/(N_Aa^3)\). Радиус — по направлению касания: \(2r = a\), \(4r = a\sqrt3\) (ОЦК), \(4r = a\sqrt2\) (ГЦК). CsCl — простая кубическая решётка с двумя ионами, а не ОЦК.

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.