Молекулярная картина газа

9 заданий

Температура и кинетическая энергия

Молекулярно-кинетическая теория выводит давление газа из ударов молекул о стенку и даёт главный результат:

\[\bar E_\text{пост} = \frac32kT \ \ \text{на молекулу}, \qquad \frac32RT \ \ \text{на моль},\]

где \(k = R/N_A = 1{,}381\cdot10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана. Средняя кинетическая энергия поступательного движения зависит только от температуры — не от массы и не от природы газа.

Раз \(\tfrac12mu^2 = \tfrac32kT\), среднеквадратичная скорость \(u = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}\): лёгкие молекулы при той же температуре движутся быстрее. Водород при 300 К — около 1,9 км/с, азот — 0,5 км/с.

errorЭнергия одна — скорости разные

При одной температуре у гелия и ксенона одинаковая средняя кинетическая энергия, но разные скорости: \(u \propto 1/\sqrt M\).

Распределение скоростей

Скорости молекул не одинаковы: столкновения всё время перераспределяют энергию. Доли молекул с разными скоростями описывает распределение Максвелла:

\[f(v) = 4\pi\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{3/2} v^2\,e^{-Mv^2/(2RT)}.\]

Распределение Максвелла для азота: с ростом температуры максимум смещается к большим скоростям, кривая расплывается; площадь под кривой всегда равна 1

Скорость	Формула	Отношение
наиболее вероятная \(v_\text{в}\)	\(\sqrt{2RT/M}\)	1
средняя \(\bar v\)	\(\sqrt{8RT/(\pi M)}\)	1,128
среднеквадратичная \(u\)	\(\sqrt{3RT/M}\)	1,225

Все три пропорциональны \(\sqrt{T/M}\) и отличаются лишь множителем. Какую брать — зависит от вопроса: средняя — для числа ударов и эффузии, среднеквадратичная — для энергии, наиболее вероятная — положение максимума кривой.

errorНе путать три скорости

В задаче обычно прямо сказано, какая скорость нужна. Разница между ними — до 22 %, больше допустимой погрешности ответа.

infoИз истории

Джеймс Клерк Максвелл получил распределение скоростей в 1860 году чисто теоретически. Прямо измерить его удалось лишь в XX веке: Отто Штерн в 1920 году пропускал пучок атомов серебра через вращающиеся щели и по размытию следа на экране нашёл скорости, согласные с теорией.

lightbulbЛайфхак: скорость звука

Звук в газе переносят те же молекулы, поэтому скорость звука — того же порядка, что и средняя скорость молекул: в воздухе 343 м/с против 470 м/с у молекул азота при 20 °C. В гелии звук втрое быстрее — отсюда «мультяшный» голос после вдоха гелия.

Столкновения и эффузия

Эффузия — выход газа через отверстие, малое по сравнению со средним расстоянием, которое молекула пролетает между столкновениями. Скорость эффузии пропорциональна средней скорости молекул, поэтому (закон Грэма)

\[\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}.\]

edit_noteРазделение изотопов урана

\(^{235}\ce{UF6}\) (\(M = 349{,}03\)) и \(^{238}\ce{UF6}\) (\(M = 352{,}04\)) проходят через пористую перегородку с отношением скоростей \(\sqrt{352{,}04/349{,}03} = 1{,}0043\). Обогащение за одну ступень мало, поэтому ступеней нужны тысячи.

Средняя длина свободного пробега — путь между столкновениями: \(\lambda = \dfrac{kT}{\sqrt2\,\pi d^2p}\), где \(d\) — диаметр молекулы. Для азота при 1 атм и 300 К \(\lambda \approx 70\) нм — примерно в 200 раз больше размера молекулы и в 20 раз больше среднего расстояния между ними. При уменьшении давления \(\lambda\) растёт обратно пропорционально \(p\).

push_pinГлавное

Температура — мера средней кинетической энергии поступательного движения: \(\bar E = \tfrac32kT\); скорости молекул распределены, \(v_\text{в} < \bar v < u\), и все растут как \(\sqrt{T/M}\).

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.