Границы модели идеального газа

9 заданий

Когда газ не идеален

Модель идеального газа пренебрегает двумя вещами: притяжением молекул и их собственным объёмом. Оба эффекта заметны, когда молекулы сближаются — при высоком давлении и низкой температуре, вблизи конденсации.

bookmarkФактор сжимаемости

\(Z = \dfrac{pV_m}{RT}\). Для идеального газа \(Z = 1\). \(Z < 1\) — преобладает притяжение (газ сжимается легче идеального), \(Z > 1\) — преобладает собственный объём молекул (газ сжимается труднее).

Фактор сжимаемости при 300 К по модели Ван-дер-Ваальса: у метана и азота сначала преобладает притяжение, у водорода — собственный объём

При давлении 1 бар и комнатной температуре \(Z\) большинства газов отличается от 1 меньше чем на 0,5 % — модель идеального газа годится. При сотнях бар отличие достигает десятков процентов.

Уравнение Ван-дер-Ваальса

functionУравнение Ван-дер-Ваальса

\[\left(p + \frac{an^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT \quad\Longleftrightarrow\quad p = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}.\]

Поправка \(nb\): часть объёма занята самими молекулами, свободный объём меньше \(V\); \(b\) (л/моль) — «исключённый объём» моля молекул.
Поправка \(an^2/V^2\): притяжение соседей тормозит молекулы у стенки, давление меньше; \(a\) растёт с силой межмолекулярного притяжения.

Газ	\(a\), л²·бар/моль²	\(b\), л/моль
\(\ce{He}\)	0,0346	0,0238
\(\ce{H2}\)	0,2476	0,0266
\(\ce{N2}\)	1,370	0,0387
\(\ce{CH4}\)	2,283	0,0428
\(\ce{CO2}\)	3,640	0,0427
\(\ce{NH3}\)	4,225	0,0371

ruleМодель, заданная условием

В олимпиадной задаче уравнение (или его постоянные) обычно даётся в условии. Главное — единицы: с \(a\) в л²·бар/моль² и \(b\) в л/моль давление получается в барах при \(R = 0{,}08314\) л·бар/(моль·К).

Размер молекул и выбор модели

Постоянная \(b\) позволяет оценить размер молекулы. Исключённый объём пары сталкивающихся сфер радиуса \(r\) — сфера радиуса \(2r\); на одну молекулу приходится половина: \(b \approx 4N_A\cdot\tfrac43\pi r^3\).

edit_noteАзот

\(b = 0{,}0387\) л/моль \(= 3{,}87\cdot10^{-5}\) м³/моль. На молекулу \(b/N_A = 6{,}43\cdot10^{-29}\) м³ \(= 4\cdot\tfrac43\pi r^3\), откуда \(r = 1{,}57\cdot10^{-10}\) м \(= 157\) пм — близко к размеру молекулы \(\ce{N2}\) по другим данным.

task_altНужна ли поправка

Оцените обе поправки при данных условиях: \(nb/V\) и \(an^2/(pV^2)\). Если обе меньше 1 %, модель идеального газа достаточна. При 1 бар и 300 К для азота они порядка 0,1 %.

errorГраница модели

Уравнение Ван-дер-Ваальса — тоже модель: качественно верно описывает отклонения и даже конденсацию, количественно при очень высоких давлениях ошибается. В задаче используют ту модель, которую задаёт условие.

infoИз истории

Ян Дидерик Ван-дер-Ваальс вывел своё уравнение в диссертации 1873 года «О непрерывности газообразного и жидкого состояний» — школьным учителем, без университетской должности. Уравнение впервые объяснило, почему газ при охлаждении и сжатии превращается в жидкость. Нобелевская премия по физике 1910 года; а слабые межмолекулярные силы с тех пор называют ван-дер-ваальсовыми.

push_pinГлавное

\(Z = pV_m/(RT)\) показывает, насколько газ неидеален: притяжение молекул уменьшает давление (\(Z < 1\)), собственный объём увеличивает (\(Z > 1\)); уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает оба эффекта двумя постоянными.

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.