Математические приёмы
Доли и разностный метод
Задачи на состав почти всегда сводятся к одной мысли: какая величина сохраняется. При растворении сохраняется масса вещества, в реакции — число атомов каждого элемента, при прокаливании — масса нелетучего остатка. Найдите сохраняющуюся величину — и пропорция напишется сама.
| Доля | Формула | Когда удобна |
|---|---|---|
| массовая | \(w_i = m_i/m\) | состав сплава, руды, раствора |
| мольная | \(x_i = n_i/n\) | газовые смеси, расчёты по уравнениям |
| объёмная | \(\varphi_i = V_i/V\) | газы; для идеальных газов \(\varphi_i = x_i\) |
errorПроценты и процентные пункты
Если массовая доля выросла с 10 % до 15 %, она увеличилась на 5 процентных пунктов, но на 50 процентов. В условиях олимпиад «увеличилась на 5 %» обычно означает пункты — но проверьте по контексту, иначе ответ изменится в разы.
Разностный метод. Когда одно твёрдое вещество превращается в другое, удобно считать не массы, а изменение массы на моль реакции. Железная пластинка в растворе сульфата меди покрывается медью:
На каждый моль реакции с пластинки уходит 55,85 г железа и оседает 63,55 г меди: масса пластинки растёт на \(63{,}55 - 55{,}85 = 7{,}70\) г. Если пластинка потяжелела на 0,77 г, прореагировало 0,100 моль, и меди осело 6,36 г. Так же считают прокаливание: в реакции \(\ce{2NaHCO3 ->[t] Na2CO3 + CO2 ^ + H2O ^}\) на 2 моль гидрокарбоната масса падает на \(44{,}01 + 18{,}02 = 62{,}03\) г.
scienceРеакции с изменением массы твёрдого вещества
- \(\ce{Zn + CuSO4 -> ZnSO4 + Cu}\) — цинковая пластинка легчает: цинк (65,38) тяжелее меди.
- \(\ce{Cu + 2AgNO3 -> Cu(NO3)2 + 2Ag}\) — медная пластинка тяжелеет на \(2\cdot107{,}87 - 63{,}55 = 152{,}2\) г на моль меди.
- \(\ce{CaCO3 ->[t] CaO + CO2 ^}\) — известняк теряет 44 % массы.
- \(\ce{2Cu + O2 ->[t] 2CuO}\) — медная сетка при прокаливании на воздухе тяжелеет на массу кислорода.
- \(\ce{Fe2O3 + 3H2 ->[t] 2Fe + 3H2O}\) — оксид при восстановлении теряет весь кислород: 30 % массы.
history_eduОткуда слово «стехиометрия»
Термин ввёл в 1792 году немецкий химик Иеремия Вениамин Рихтер — от греческих слов «стехейон» (элемент) и «метрон» (мера). Рихтер обнаружил, что кислоты и основания реагируют в постоянных отношениях, и составил первые таблицы «эквивалентных» масс. Книги его были написаны тяжело, с избытком математики, и признание пришло к идеям Рихтера лишь после его смерти.
Среднее и правило креста
Средняя молярная масса газовой смеси — среднее, взвешенное по мольным долям:
Для двух компонентов отсюда получается удобное «правило креста». Если \(\bar M = x_1M_1 + x_2M_2\) и \(x_1 + x_2 = 1\), то
— доли компонентов обратно пропорциональны «расстояниям» от их молярных масс до средней. Точно так же смешивают растворы, только вместо мольных долей — массы растворов, а вместо молярных масс — массовые доли: \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{w_2 - w}{w - w_1}\).
edit_noteКонверт Пирсона
Сколько 60 %-й серной кислоты нужно добавить к 200 г 10 %-й, чтобы получить 25 %-ю? Пишем крест: \(60 - 25 = 35\) частей 10 %-го раствора и \(25 - 10 = 15\) частей 60 %-го. Отношение масс \(m_{10}:m_{60} = 35:15\), откуда \(m_{60} = 200\cdot15/35 = 85{,}7\) г.
errorГде крест не работает
Для растворов в правило креста входят массы, а не объёмы: объёмы жидкостей при смешивании не складываются (50 мл спирта и 50 мл воды дают около 97 мл). Для газов — количества вещества или объёмы, но не массы.
Средние величины выручают, когда смесь «ведёт себя как одно вещество». Уголь сгорает в недостатке кислорода до смеси двух оксидов:
Если плотность смеси по гелию равна 9,00, то \(\bar M = 36{,}0\) г/моль, и по правилу креста \(x(\ce{CO2}):x(\ce{CO}) = (36{,}0 - 28{,}0):(44{,}0 - 36{,}0) = 1:1\). Средняя атомная масса элемента — то же взвешенное среднее по изотопам: \(A_r(\ce{Cl}) = 0{,}7576\cdot34{,}969 + 0{,}2424\cdot36{,}966 = 35{,}45\).
boltПроверка средней
Средняя всегда лежит между крайними значениями и ближе к тому компоненту, которого больше. Если \(\bar M = 36\) ровно посередине между 28 и 44, компонентов поровну по молям, но не по массе: массовая доля \(\ce{CO2}\) равна \(44/(28 + 44) = 61\) %.
Системы уравнений для смесей
Если в смеси два компонента, нужны две независимые связи. Обычно это масса смеси и одно химическое измерение: объём газа, масса осадка, убыль массы при прокаливании. Неизвестными удобнее брать количества вещества компонентов — тогда коэффициенты уравнений входят в систему напрямую.
edit_noteСплав магния с алюминием
Сплав массой 3,90 г растворили в избытке соляной кислоты; выделилось 4,48 л водорода (н. у.). Каков состав сплава?
- Реакции: \(\ce{Mg + 2HCl -> MgCl2 + H2 ^}\), \(\ce{2Al + 6HCl -> 2AlCl3 + 3H2 ^}\).
- Пусть в сплаве \(x\) моль Mg и \(y\) моль Al. Масса: \(24{,}31x + 26{,}98y = 3{,}90\).
- Водород: \(x + 1{,}5y = 4{,}48/22{,}4 = 0{,}200\).
- Из второго уравнения \(x = 0{,}200 - 1{,}5y\); подставляем: \(4{,}862 - 36{,}46y + 26{,}98y = 3{,}90\), откуда \(y = 0{,}101\) моль, \(x = 0{,}048\) моль.
- \(m(\ce{Al}) = 2{,}74\) г — 70 % сплава; магния 30 %.
Тот же сплав можно разделить по-другому: алюминий растворяется в щёлочи, а магний — нет:
Объём водорода в щёлочи сразу даёт количество алюминия, а масса сплава — магний. Выбирайте реакцию, которая «видит» только один компонент: система становится треугольной и решается без подстановок.
scienceРеакции, которые «видят» один компонент смеси
- \(\ce{Zn + 2HCl -> ZnCl2 + H2 ^}\) — в латуни (Cu–Zn) с кислотой реагирует только цинк.
- \(\ce{Fe + 2HCl -> FeCl2 + H2 ^}\) и \(\ce{Fe2O3 + 6HCl -> 2FeCl3 + 3H2O}\) — газ даёт только металл, а не оксид.
- \(\ce{2NaHCO3 ->[t] Na2CO3 + CO2 ^ + H2O ^}\) — карбонат натрия при прокаливании не разлагается.
- \(\ce{Si + 2NaOH + H2O -> Na2SiO3 + 2H2 ^}\) — кремний, в отличие от железа, растворяется в щёлочи.
- \(\ce{NaCl + AgNO3 -> AgCl v + NaNO3}\) — хлорид-ион осаждается из обоих хлоридов смеси: одна реакция на два компонента.
errorОдна реакция, записанная дважды, — не два уравнения
Если \(\ce{NaCl}\) и \(\ce{KCl}\) осадили нитратом серебра, масса \(\ce{AgCl}\) даёт одну связь, вторая — масса смеси. «Масса хлорид-ионов» уже не третье уравнение: она вытекает из массы осадка.
Независимые данные и проверка
Прежде чем решать, посчитайте, сколько неизвестных и сколько независимых связей. Связь независима, если её нельзя получить из остальных. Если связей меньше — задача однозначно не решается, нужна ещё информация или химическая догадка. Если больше — одна лишняя, и это подарок: по ней можно проверить ответ.
| Смесь и данные | Неизвестных | Независимых связей | Вывод |
|---|---|---|---|
| латунь (Cu, Zn): масса и объём \(\ce{H2}\) в кислоте | 2 | 2 | водород даёт цинк, масса — медь |
| Mg и Al: масса, \(V(\ce{H2})\) в кислоте и в щёлочи | 2 | 3 | одна связь — для проверки |
| газ: плотность при н. у. и молярная масса | 1 | 1 | \(M = \rho V_m\) — это одно и то же измерение |
| NaCl и KCl: масса \(\ce{AgCl}\) и масса хлора в смеси | 2 | 1 | не хватает массы смеси |
boltЛишние числа — ключ к проверке
В хорошей олимпиадной задаче лишних чисел не бывает. Если число «не пригодилось», значит, либо оно дано для проверки, либо вы упустили реакцию. Например, если в задаче о смеси железа с оксидом железа(III) дана масса остатка после восстановления водородом, а вы решили её без этого числа, — подставьте свой ответ и убедитесь, что масса железа сходится.
scienceТри реакции для смеси Fe + Fe2O3
- \(\ce{Fe + 2HCl -> FeCl2 + H2 ^}\) — водород даёт только металлическое железо.
- \(\ce{Fe2O3 + 3H2 ->[t] 2Fe + 3H2O}\) — масса уменьшается на массу кислорода оксида: 48,00 г на моль \(\ce{Fe2O3}\).
- \(\ce{2Fe + 3Cl2 ->[t] 2FeCl3}\) — хлор переводит всё железо в хлорид железа(III): масса продукта отражает общее количество железа.
push_pinГлавное
Сначала найдите величину, которая сохраняется. Изменение массы считают на моль реакции (разностный метод). Средняя молярная масса — взвешенное среднее, для двух компонентов работает правило креста: \(x_1/x_2 = (M_2 - \bar M)/(\bar M - M_1)\); для растворов — с массами. На каждую неизвестную нужна независимая связь; неизвестными берите количества вещества. Лишние данные — готовая проверка.
Закрепите теорию: 14 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.