Математические приёмы
Доли и разностный метод
Решение задачи на состав смеси начинают с вопроса: какая величина сохраняется при описанном превращении? Если вещество растворяется без химической реакции, сохраняется его масса. В химической реакции сохраняется число атомов каждого элемента. При прокаливании сохраняется масса элемента, который целиком остаётся в твёрдом остатке: например, при разложении карбоната кальция весь кальций переходит в оксид кальция. Сохраняющаяся величина позволяет составить уравнение для неизвестного состава.
Состав смеси выражают долями компонентов. В зависимости от того, какая величина известна из условия, используют массовую, мольную или объёмную долю.
| Доля | Формула | Когда удобна |
|---|---|---|
| Массовая доля выражает отношение массы компонента к массе смеси. | Её вычисляют по формуле \(w_i = m_i/m\). | Её используют для описания состава сплава, руды или раствора. |
| Мольная доля выражает отношение количества вещества компонента к общему количеству вещества. | Её вычисляют по формуле \(x_i = n_i/n\). | Она удобна для газовых смесей и расчётов по уравнениям реакций. |
| Объёмная доля выражает отношение объёма компонента к объёму смеси. | Её вычисляют по формуле \(\varphi_i = V_i/V\). Для идеальных газов \(\varphi_i = x_i\). | Её используют при расчётах состава газовых смесей. |
errorПроценты и процентные пункты
Если массовая доля выросла с 10 % до 15 %, она увеличилась на 5 процентных пунктов, но на 50 процентов от исходного значения. В условиях олимпиадных задач запись «массовая доля увеличилась на 5 %» обычно означает увеличение на 5 процентных пунктов. Проверяйте смысл условия: смешение этих понятий может изменить ответ в разы.
Разностный метод применяют, когда о количестве прореагировавшего вещества судят по изменению массы твёрдого образца. Для этого сначала рассчитывают изменение массы на моль реакции. Например, железная пластинка в растворе сульфата меди покрывается медью:
На каждый моль реакции с пластинки уходит 55,85 г железа, а на ней оседает 63,55 г меди. Поэтому масса пластинки увеличивается на \(63{,}55 - 55{,}85 = 7{,}70\) г. Если пластинка потяжелела на 0,77 г, прореагировало 0,100 моль железа и осело 6,36 г меди. При прокаливании рассуждают сходным образом: в реакции \(\ce{2NaHCO3 ->[t] Na2CO3 + CO2 ^ + H2O ^}\) на 2 моль гидрокарбоната масса твёрдого вещества уменьшается на \(44{,}01 + 18{,}02 = 62{,}03\) г.
scienceРеакции с изменением массы твёрдого вещества
- \(\ce{Zn + CuSO4 -> ZnSO4 + Cu}\) — цинковая пластинка теряет массу, поскольку цинк (65,38) тяжелее осаждающейся меди.
- \(\ce{Cu + 2AgNO3 -> Cu(NO3)2 + 2Ag}\) — медная пластинка тяжелеет на \(2\cdot107{,}87 - 63{,}55 = 152{,}2\) г на моль прореагировавшей меди.
- \(\ce{CaCO3 ->[t] CaO + CO2 ^}\) — при прокаливании чистого известняка масса твёрдого вещества уменьшается на 44 %.
- \(\ce{2Cu + O2 ->[t] 2CuO}\) — медная сетка при прокаливании на воздухе тяжелеет на массу присоединившегося кислорода.
- \(\ce{Fe2O3 + 3H2 ->[t] 2Fe + 3H2O}\) — при восстановлении оксид теряет весь кислород, то есть 30 % своей массы.
history_eduОткуда слово «стехиометрия»
Термин «стехиометрия» ввёл в 1792 году немецкий химик Иеремия Вениамин Рихтер. Он образован от греческих слов «стехейон» (элемент) и «метрон» (мера). Рихтер обнаружил, что кислоты и основания реагируют в постоянных отношениях, и составил первые таблицы «эквивалентных» масс. Его книги были трудны для чтения из-за обилия математических выкладок, поэтому идеи Рихтера получили признание лишь после его смерти.
Среднее и правило креста
Доли позволяют рассчитать свойства смеси как средние величины. Средняя молярная масса газовой смеси — это среднее молярных масс компонентов, взвешенное по их мольным долям:
Если компонентов два, их доли можно найти без решения развёрнутой системы уравнений. Из соотношений \(\bar M = x_1M_1 + x_2M_2\) и \(x_1 + x_2 = 1\) следует правило креста:
Мольная доля каждого компонента пропорциональна разности между средней молярной массой и молярной массой другого компонента. При смешивании растворов применяют такое же рассуждение: вместо мольных долей берут массы растворов, а вместо молярных масс — массовые доли растворённого вещества. Получается соотношение \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{w_2 - w}{w - w_1}\).
edit_noteКонверт Пирсона
Сколько 60 %-й серной кислоты нужно добавить к 200 г 10 %-й, чтобы получить 25 %-ю? Разность \(60 - 25 = 35\) соответствует числу частей 10 %-го раствора, а разность \(25 - 10 = 15\) — числу частей 60 %-го раствора. Поэтому отношение масс равно \(m_{10}:m_{60} = 35:15\). Из него находят \(m_{60} = 200\cdot15/35 = 85{,}7\) г.
errorКакие величины подставляют в правило креста
При смешивании растворов в правило креста подставляют массы, а не объёмы: объёмы жидкостей не обязательно складываются. Например, 50 мл спирта и 50 мл воды дают около 97 мл смеси. Для газов правило креста связывает количества вещества или объёмы компонентов, но не их массы.
Средняя молярная масса особенно удобна, когда по измеренному свойству газовой смеси нужно определить её состав. Например, при сгорании угля в недостатке кислорода образуется смесь двух оксидов:
Если плотность этой смеси по гелию равна 9,00, то \(\bar M = 36{,}0\) г/моль. По правилу креста \(x(\ce{CO2}):x(\ce{CO}) = (36{,}0 - 28{,}0):(44{,}0 - 36{,}0) = 1:1\). По тому же принципу рассчитывают среднюю атомную массу элемента по составу его изотопов: \(A_r(\ce{Cl}) = 0{,}7576\cdot34{,}969 + 0{,}2424\cdot36{,}966 = 35{,}45\).
boltПроверка средней
Средняя величина лежит между значениями для отдельных компонентов и ближе к значению того компонента, которого больше. Если \(\bar M = 36\) находится ровно посередине между 28 и 44, компонентов поровну по молям, но не по массе: массовая доля \(\ce{CO2}\) равна \(44/(28 + 44) = 61\) %.
Системы уравнений для смесей
Когда состав смеси неизвестен, для каждого компонента вводят неизвестную величину. Если компонентов два, для определения их количеств нужны два независимых уравнения: ни одно из них не должно следовать из другого. Обычно одно уравнение составляют по массе смеси, а второе — по результату химического опыта, например по объёму выделившегося газа, массе осадка или убыли массы при прокаливании. Неизвестными удобно выбирать количества вещества компонентов: тогда коэффициенты уравнений реакций непосредственно используют при расчёте.
edit_noteСплав магния с алюминием
Сплав массой 3,90 г растворили в избытке соляной кислоты; выделилось 4,48 л водорода (н. у.). Каков состав сплава?
- С соляной кислотой реагируют оба металла: \(\ce{Mg + 2HCl -> MgCl2 + H2 ^}\), \(\ce{2Al + 6HCl -> 2AlCl3 + 3H2 ^}\).
- Пусть в сплаве содержится \(x\) моль Mg и \(y\) моль Al. По массе сплава составляют уравнение \(24{,}31x + 26{,}98y = 3{,}90\).
- По объёму выделившегося водорода составляют второе уравнение: \(x + 1{,}5y = 4{,}48/22{,}4 = 0{,}200\).
- Из второго уравнения находят \(x = 0{,}200 - 1{,}5y\). После подстановки в первое получают \(4{,}862 - 36{,}46y + 26{,}98y = 3{,}90\), откуда \(y = 0{,}101\) моль и \(x = 0{,}048\) моль.
- Масса алюминия составляет \(m(\ce{Al}) = 2{,}74\) г, или 70 % массы сплава; на магний приходится 30 %.
Состав такого сплава можно определить и другим опытом. Алюминий растворяется в щёлочи, а магний — нет:
По объёму водорода, выделившегося в щёлочи, находят количество алюминия. Затем из массы сплава находят массу магния. Когда результат реакции позволяет сначала определить один компонент, второе неизвестное рассчитывают уже без подстановки в систему.
scienceРеакции для определения состава смесей
- \(\ce{Zn + 2HCl -> ZnCl2 + H2 ^}\) — из компонентов латуни (Cu–Zn) с кислотой реагирует только цинк.
- \(\ce{Fe + 2HCl -> FeCl2 + H2 ^}\) и \(\ce{Fe2O3 + 6HCl -> 2FeCl3 + 3H2O}\) — с кислотой реагируют и металл, и оксид, но водород выделяется только при реакции металла.
- \(\ce{2NaHCO3 ->[t] Na2CO3 + CO2 ^ + H2O ^}\) — при прокаливании разлагается гидрокарбонат натрия, тогда как карбонат натрия не разлагается.
- \(\ce{Si + 2NaOH + H2O -> Na2SiO3 + 2H2 ^}\) — кремний, в отличие от железа, растворяется в щёлочи.
- \(\ce{NaCl + AgNO3 -> AgCl v + NaNO3}\) — при добавлении нитрата серебра хлорид-ион осаждается из обоих хлоридов смеси, поэтому масса осадка характеризует их общее количество.
errorТипичная ошибка: лишнее уравнение
Если \(\ce{NaCl}\) и \(\ce{KCl}\) осадили нитратом серебра, по массе \(\ce{AgCl}\) составляют одно уравнение для смеси. Второе уравнение можно составить по массе исходной смеси. Масса хлорид-ионов не позволяет записать третье независимое уравнение: её уже можно вычислить по массе осадка.
Независимые данные и проверка
Перед решением задачи сравните число неизвестных с числом независимых уравнений. Если независимых уравнений меньше, состав смеси однозначно не определяется: нужно ещё одно условие. Если измерений больше, чем неизвестных, дополнительный результат должен согласоваться с уже найденным составом. Такое измерение удобно использовать для проверки ответа, хотя число независимых уравнений при этом не увеличивается.
| Смесь и данные | Неизвестных | Независимых уравнений | Вывод |
|---|---|---|---|
| Латунь (Cu, Zn): известны масса смеси и объём \(\ce{H2}\), выделившегося в кислоте | 2 | 2 | По объёму водорода находят количество цинка, затем по массе смеси — количество меди |
| Сплав Mg и Al: известны масса смеси и \(V(\ce{H2})\) в кислоте и в щёлочи | 2 | 2 | Данных три, но независимых уравнений только два; третье измерение служит для проверки |
| Газ: известны плотность при н. у. и молярная масса | 1 | 1 | Величины связаны соотношением \(M = \rho V_m\), поэтому обе дают одно и то же уравнение |
| Смесь NaCl и KCl: известны масса \(\ce{AgCl}\) и масса хлора в смеси | 2 | 1 | Массу хлора рассчитывают по массе осадка; для определения состава не хватает массы смеси |
boltДополнительные числа помогают проверить ответ
Если какое-то число не потребовалось для нахождения неизвестных, проверьте, согласуется ли оно с ответом. Иногда оно указывает на пропущенную реакцию. Например, если для смеси железа с оксидом железа(III) известна масса остатка после восстановления водородом, а состав найден без этого числа, рассчитайте массу получившегося железа и сравните её с условием.
scienceРеакции, важные при анализе смеси Fe + Fe2O3
- \(\ce{Fe + 2HCl -> FeCl2 + H2 ^}\) — при реакции с кислотой водород выделяет только металлическое железо.
- \(\ce{Fe2O3 + 3H2 ->[t] 2Fe + 3H2O}\) — при восстановлении масса уменьшается на массу кислорода оксида, то есть на 48,00 г на моль \(\ce{Fe2O3}\).
- \(\ce{2Fe + 3Cl2 ->[t] 2FeCl3}\) — приведённое уравнение описывает реакцию хлора с металлическим железом; оно не позволяет определить общее количество железа в смеси с \(\ce{Fe2O3}\).
push_pinГлавное
В задаче на смесь сначала определяют, какие величины сохраняются и как измеренный результат связан с составом. Изменение массы твёрдого образца рассчитывают на моль реакции — это разностный метод. Средняя молярная масса представляет собой взвешенное среднее; для двух компонентов их мольные доли связывает правило креста: \(x_1/x_2 = (M_2 - \bar M)/(\bar M - M_1)\). При смешивании растворов аналогичное соотношение записывают для масс. Чтобы найти количества компонентов, составляют независимые уравнения, а дополнительные результаты измерений используют для проверки ответа.
Закрепите теорию: 14 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.