Степени и логарифмы
Порядок величины
Числа в химии охватывают десятки порядков: радиус атома — около \(10^{-10}\) м, число молекул в стакане воды — около \(10^{25}\), произведение растворимости сульфида ртути — порядка \(10^{-52}\). Писать такие числа «в строчку» бессмысленно, поэтому используют стандартную запись \(a\cdot10^{n}\), где \(1 \le a < 10\).
| Величина | Порядок | Значение |
|---|---|---|
| постоянная Авогадро | \(10^{24}\) | \(6{,}02\cdot10^{23}\) моль⁻¹ |
| масса атома водорода | \(10^{-24}\) г | \(1{,}67\cdot10^{-24}\) г |
| размер атома | \(10^{-10}\) м | 0,1–0,3 нм |
| ионное произведение воды | \(10^{-14}\) | \(1{,}0\cdot10^{-14}\) при 25 °C |
| ПР хлорида серебра | \(10^{-10}\) | \(1{,}8\cdot10^{-10}\) |
| ПР сульфида ртути(II) | \(10^{-52}\) | около \(4\cdot10^{-53}\) |
Правила простые: при умножении мантиссы перемножают, а показатели складывают; при делении — делят и вычитают; при извлечении квадратного корня показатель делят пополам: \(\sqrt{1{,}8\cdot10^{-10}} = \sqrt{1{,}8}\cdot10^{-5} = 1{,}34\cdot10^{-5}\). Если показатель нечётный, сначала сделайте его чётным: \(\sqrt{4\cdot10^{-53}} = \sqrt{40\cdot10^{-54}} = 6{,}3\cdot10^{-27}\).
Растворимость малорастворимой соли связана с её произведением растворимости (подробно — в теме 10). Для соли состава AB в насыщенном растворе концентрации обоих ионов равны растворимости \(s\), и \(s^2 = \text{ПР}\):
boltОценка до вычисления
Прежде чем нажимать кнопки, оцените порядок ответа в уме: округлите мантиссы до 1, 2, 5 или 10 и сложите показатели. Если калькулятор выдал число на три порядка больше оценки — ошибка при вводе. Так ловится самая частая беда: \(10^{-5}\), набранное с лишним множителем 10.
auto_awesomeМеньше одного иона на ванну
Для сульфида ртути(II) \(s = \sqrt{4\cdot10^{-53}} \approx 6\cdot10^{-27}\) моль/л. Умножим на \(N_A\): \(4\cdot10^{-3}\) иона в литре. Чтобы в насыщенном растворе оказался в среднем хотя бы один ион \(\ce{Hg^2+}\), нужно около 250 литров — полторы ванны. На деле растворимость \(\ce{HgS}\) выше: сульфид-ион реагирует с водой, а ртуть образует комплексы, — но порядок величины показателен. Именно поэтому киноварь \(\ce{HgS}\) веками лежит в руде, не вымываясь водой.
Логарифмы и pH
Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень надо возвести основание, чтобы получить число: \(\lg1000 = 3\), \(\lg0{,}01 = -2\). Десятичный логарифм \(\lg\) удобен, когда величины различаются в десятки и сотни раз; натуральный \(\ln\) (основание \(e = 2{,}718\)) появляется в законах распада и скорости реакций. Они пропорциональны: \(\ln x = 2{,}303\lg x\).
functionСвойства логарифмов
\(\lg(ab) = \lg a + \lg b\); \(\lg(a/b) = \lg a - \lg b\); \(\lg a^{n} = n\lg a\); \(\lg10^{n} = n\). Логарифм существует только у положительных чисел, поэтому концентрацию под логарифмом берут численно — в моль/л, без единиц.
Главное применение в неорганике — водородный показатель:
Последнее равенство — следствие автопротолиза воды \(\ce{H2O <=> H+ + OH-}\) с ионным произведением \(K_w = [\ce{H+}][\ce{OH-}] = 1{,}0\cdot10^{-14}\). Для сильной одноосновной кислоты \([\ce{H+}]\) равна её концентрации, для щёлочи \([\ce{OH-}] = c\cdot z\), где \(z\) — число групп OH: в 0,010 М \(\ce{Ba(OH)2}\) \([\ce{OH-}] = 0{,}020\) М, pOH = 1,70, pH = 12,30.
boltЛогарифмы в уме
\(\lg2 = 0{,}30\), \(\lg3 = 0{,}48\), \(\lg5 = 0{,}70\), \(\lg7 = 0{,}85\). Тогда pH 0,002 М \(\ce{HCl}\) — это \(-\lg(2\cdot10^{-3}) = 3 - 0{,}30 = 2{,}70\). Каждая единица pH — десятикратное изменение \([\ce{H+}]\): при разбавлении сильной кислоты в 100 раз pH растёт на 2.
errorРазбавление до «pH 8»
Если \(10^{-5}\) М соляную кислоту разбавить в 1000 раз, pH не станет 8: раствор кислоты не может быть щелочным. При концентрациях ниже \(10^{-6}\) М нужно учитывать ионы \(\ce{H+}\) самой воды: в \(10^{-8}\) М \(\ce{HCl}\) \([\ce{H+}] \approx 1{,}05\cdot10^{-7}\) М и pH ≈ 6,98.
history_eduОткуда взялся pH
Обозначение pH ввёл в 1909 году датский биохимик Сёрен Сёренсен из лаборатории пивоваренной компании «Карлсберг»: изучая ферменты, он искал короткий способ записывать кислотность. Что значит буква p — «Potenz» (степень) или просто обозначение из его выкладок, — спорят до сих пор.
auto_awesomeКислый дождь и обычный
Даже чистая дождевая вода слегка кислая, её pH около 5,6: в ней растворён углекислый газ, \(\ce{CO2 + H2O <=> H+ + HCO3-}\). Кислотными называют дожди с pH ниже 5,6 — их дают оксиды серы и азота из сгоревшего топлива: \(\ce{2SO2 + O2 -> 2SO3}\), \(\ce{SO3 + H2O -> H2SO4}\), \(\ce{4NO2 + O2 + 2H2O -> 4HNO3}\).
Экспонента: радиоактивный распад
Если за равные промежутки времени исчезает одна и та же доля вещества, количество убывает по экспоненте. Так распадаются радионуклиды: каждое ядро имеет одну и ту же вероятность распасться за секунду, независимо от «возраста» и от соседей.
\(T_{1/2}\) — период полураспада, время, за которое распадается половина ядер. Логарифмируя, получаем формулу для времени: \(t = \dfrac{T_{1/2}}{\ln2}\ln\dfrac{N_0}{N}\). Активность \(A\) — число распадов в секунду, в беккерелях, — пропорциональна числу ядер, \(A = kN\), и убывает по тому же закону.
scienceЯдерные реакции
- \(\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}p}\) — в верхних слоях атмосферы нейтроны космических лучей непрерывно создают углерод-14.
- \(\ce{^{14}_{6}C -> ^{14}_{7}N + e-} + \bar\nu_e\) — β⁻-распад, \(T_{1/2} = 5730\) лет.
- \(\ce{^{18}_{8}O + ^{1}_{1}p -> ^{18}_{9}F + ^{1}_{0}n}\) — фтор-18 получают на циклотроне из воды, обогащённой кислородом-18.
- \(\ce{^{18}_{9}F -> ^{18}_{8}O + e+} + \nu_e\) — β⁺-распад, \(T_{1/2} = 110\) мин; позитроны регистрирует позитронно-эмиссионный томограф.
- \(\ce{^{131}_{53}I -> ^{131}_{54}Xe + e-} + \bar\nu_e\) — β⁻-распад, \(T_{1/2} = 8{,}0\) сут.
В ядерной реакции сохраняются массовое число (верхний индекс) и заряд (нижний): в первой реакции \(14 + 1 = 14 + 1\) и \(7 + 0 = 6 + 1\).
boltПериоды полураспада в уме
После \(n\) периодов остаётся \(1/2^n\): после трёх — 12,5 %, после семи — меньше 1 %, после десяти — около 0,1 % (\(2^{10} = 1024 \approx 10^3\)). Поэтому препарат с фтором-18 нельзя везти в другой город дольше нескольких часов, а иод-131 за 80 суток распадается почти полностью.
history_eduЧасы из углерода
В 1902 году Эрнест Резерфорд и Фредерик Содди поняли, что радиоактивность — превращение одних элементов в другие, и сформулировали закон распада. В 1949 году Уиллард Либби предложил радиоуглеродное датирование: живой организм поддерживает ту же долю углерода-14, что и атмосфера, а после гибели этот запас только распадается. По остатку \(\ce{^{14}C}\) определяют возраст дерева, кости или ткани до 50 тысяч лет. В 1960 году Либби получил за этот метод Нобелевскую премию по химии.
push_pinГлавное
Химия оперирует числами от \(10^{-52}\) до \(10^{24}\), поэтому порядок ответа оценивают до вычислений. \(\mathrm{pH} = -\lg[\ce{H+}]\), единица pH — десятикратное изменение концентрации, \(\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14\) при 25 °C; в очень разбавленных растворах учитывают ионы воды. Распад: \(N = N_0\cdot2^{-t/T_{1/2}} = N_0e^{-kt}\), \(k = \ln2/T_{1/2}\); через 10 периодов остаётся около 0,1 %.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.