Степени и логарифмы
Порядок величины
В химии приходится сравнивать числа, которые различаются на многие порядки: радиус атома составляет около \(10^{-10}\) м, число молекул в стакане воды — около \(10^{25}\), а произведение растворимости сульфида ртути — порядка \(10^{-52}\). Чтобы не записывать множество нулей, используют стандартную запись \(a\cdot10^{n}\), где \(1 \le a < 10\). Числовой множитель в такой записи называют мантиссой. Порядок величины позволяет приблизительно оценить число; в таблице он указан как ближайшая степень десяти.
| Величина | Порядок величины | Значение |
|---|---|---|
| Постоянная Авогадро | \(10^{24}\) | \(6{,}02\cdot10^{23}\) моль⁻¹ |
| Масса атома водорода | \(10^{-24}\) г | \(1{,}67\cdot10^{-24}\) г |
| Размер атома | \(10^{-10}\) м | 0,1–0,3 нм |
| Ионное произведение воды | \(10^{-14}\) | \(1{,}0\cdot10^{-14}\) при 25 °C |
| Произведение растворимости хлорида серебра | \(10^{-10}\) | \(1{,}8\cdot10^{-10}\) |
| Произведение растворимости сульфида ртути(II) | \(10^{-52}\) | около \(4\cdot10^{-53}\) |
Стандартная запись упрощает вычисления. При умножении мантиссы перемножают, а показатели степеней складывают; при делении мантиссы делят, а показатели вычитают. При извлечении квадратного корня показатель степени делят пополам: \(\sqrt{1{,}8\cdot10^{-10}} = \sqrt{1{,}8}\cdot10^{-5} = 1{,}34\cdot10^{-5}\). Если показатель нечётный, число сначала переписывают, не меняя его значения: \(\sqrt{4\cdot10^{-53}} = \sqrt{40\cdot10^{-54}} = 6{,}3\cdot10^{-27}\).
Эти действия нужны, например, при расчёте растворимости малорастворимой соли. Её произведение растворимости (подробно — в теме 10) связано с концентрациями ионов в насыщенном растворе. Если соль имеет состав AB, при её растворении образуются равные количества обоих ионов. Поэтому концентрация каждого иона равна растворимости \(s\), а \(s^2 = \text{ПР}\). Для хлорида серебра получаем:
boltОценка результата перед вычислением
Прежде чем пользоваться калькулятором, оцените порядок результата в уме: округлите мантиссы до 1, 2, 5 или 10 и выполните действия с показателями степеней. Если вычисленное число отличается от оценки на три порядка, проверьте ввод. Частая причина ошибки — лишний множитель 10 при вводе \(10^{-5}\).
auto_awesomeЧисло ионов в насыщенном растворе сульфида ртути
Для сульфида ртути(II) расчёт без учёта побочных реакций даёт \(s = \sqrt{4\cdot10^{-53}} \approx 6\cdot10^{-27}\) моль/л. Если умножить это значение на \(N_A\), получится в среднем \(4\cdot10^{-3}\) иона \(\ce{Hg^2+}\) в литре. Чтобы в насыщенном растворе оказался в среднем хотя бы один такой ион, потребуется около 250 литров — полторы ванны. В действительности растворимость \(\ce{HgS}\) выше, поскольку сульфид-ион реагирует с водой, а ртуть образует комплексы. Тем не менее расчёт показывает, насколько мала растворимость: киноварь \(\ce{HgS}\) веками сохраняется в руде и не вымывается водой.
Логарифмы и pH
Степень позволяет найти число по основанию и показателю. Логарифм решает обратную задачу: показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Например, \(\lg1000 = 3\), а \(\lg0{,}01 = -2\). Десятичный логарифм \(\lg\) удобен для сравнения величин, различающихся в десятки и сотни раз. Натуральный логарифм \(\ln\) имеет основание \(e = 2{,}718\) и встречается в законах распада и скорости реакций. Эти логарифмы связаны равенством \(\ln x = 2{,}303\lg x\).
functionСвойства логарифмов
При вычислениях используют равенства \(\lg(ab) = \lg a + \lg b\); \(\lg(a/b) = \lg a - \lg b\); \(\lg a^{n} = n\lg a\); \(\lg10^{n} = n\). Логарифм определён только для положительных чисел. Поэтому концентрацию под знаком логарифма подставляют как числовое значение в моль/л, без единиц.
В неорганической химии десятичный логарифм применяют для выражения кислотности раствора. Водородный показатель pH связан с концентрацией ионов водорода, а показатель pOH — с концентрацией гидроксид-ионов:
Последнее равенство следует из автопротолиза воды \(\ce{H2O <=> H+ + OH-}\): её ионное произведение составляет \(K_w = [\ce{H+}][\ce{OH-}] = 1{,}0\cdot10^{-14}\). В растворе сильной одноосновной кислоты \([\ce{H+}]\) равна концентрации кислоты. Для щёлочи \([\ce{OH-}] = c\cdot z\), где \(z\) — число групп OH в её формуле. Так, в 0,010 М растворе \(\ce{Ba(OH)2}\) концентрация \([\ce{OH-}] = 0{,}020\) М; следовательно, pOH = 1,70, а pH = 12,30.
boltВычисление логарифмов в уме
Для приближённых расчётов полезно помнить: \(\lg2 = 0{,}30\), \(\lg3 = 0{,}48\), \(\lg5 = 0{,}70\), \(\lg7 = 0{,}85\). Тогда для 0,002 М раствора \(\ce{HCl}\) получаем \(-\lg(2\cdot10^{-3}) = 3 - 0{,}30 = 2{,}70\). Из определения pH следует, что изменение pH на единицу соответствует десятикратному изменению \([\ce{H+}]\). Поэтому при разбавлении сильной кислоты в 100 раз pH растёт на 2, пока можно пренебречь ионами водорода, образующимися из воды.
errorПочему при разбавлении кислоты не получается «pH 8»
Если \(10^{-5}\) М соляную кислоту разбавить в 1000 раз, расчёт только по концентрации кислоты предскажет pH 8. Этот результат неверен: раствор кислоты не становится щелочным при разбавлении водой. При концентрациях ниже \(10^{-6}\) М необходимо учитывать ионы \(\ce{H+}\), образующиеся из самой воды. В \(10^{-8}\) М растворе \(\ce{HCl}\) концентрация \([\ce{H+}] \approx 1{,}05\cdot10^{-7}\) М, а pH ≈ 6,98.
history_eduПроисхождение обозначения pH
Обозначение pH ввёл в 1909 году датский биохимик Сёрен Сёренсен, работавший в лаборатории пивоваренной компании «Карлсберг». При изучении ферментов ему требовался краткий способ записи кислотности. Происхождение буквы p остаётся предметом спора: её связывают со словом «Potenz» («степень») или считают обозначением из выкладок Сёренсена.
auto_awesomeКислотность обычного и кислотного дождя
Даже чистая дождевая вода слегка кислая: её pH около 5,6, поскольку в воде растворяется углекислый газ и протекает реакция \(\ce{CO2 + H2O <=> H+ + HCO3-}\). Кислотными называют дожди с pH ниже 5,6. Их образование связано с оксидами серы и азота, поступающими при сжигании топлива: \(\ce{2SO2 + O2 -> 2SO3}\), \(\ce{SO3 + H2O -> H2SO4}\), \(\ce{4NO2 + O2 + 2H2O -> 4HNO3}\).
Экспонента: радиоактивный распад
Если за каждый равный промежуток времени исчезает одна и та же доля вещества, его количество убывает по экспоненциальному закону. Так происходит радиоактивный распад: вероятность распада ядра за секунду не зависит от его «возраста» и соседних ядер. Число оставшихся ядер выражают двумя равнозначными способами:
Здесь \(T_{1/2}\) — период полураспада, то есть время, за которое распадается половина ядер. Если известна доля оставшихся ядер, время находят логарифмированием: \(t = \dfrac{T_{1/2}}{\ln2}\ln\dfrac{N_0}{N}\). Активность \(A\) — число распадов в секунду; её измеряют в беккерелях. Поскольку активность пропорциональна числу ядер, \(A = kN\), она убывает по тому же закону.
Радионуклиды могут образовываться и распадаться в разных ядерных реакциях. В приведённых ниже уравнениях массовое число указано верхним индексом, а заряд ядра — нижним.
scienceЯдерные реакции
- \(\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}p}\) — в верхних слоях атмосферы нейтроны космических лучей непрерывно создают углерод-14.
- \(\ce{^{14}_{6}C -> ^{14}_{7}N + e-} + \bar\nu_e\) — при β⁻-распаде углерода-14 образуется азот-14; период полураспада составляет \(T_{1/2} = 5730\) лет.
- \(\ce{^{18}_{8}O + ^{1}_{1}p -> ^{18}_{9}F + ^{1}_{0}n}\) — фтор-18 получают на циклотроне из воды, обогащённой кислородом-18.
- \(\ce{^{18}_{9}F -> ^{18}_{8}O + e+} + \nu_e\) — при β⁺-распаде фтора-18 образуется кислород-18; период полураспада составляет \(T_{1/2} = 110\) мин, а позитроны регистрирует позитронно-эмиссионный томограф.
- \(\ce{^{131}_{53}I -> ^{131}_{54}Xe + e-} + \bar\nu_e\) — при β⁻-распаде иода-131 образуется ксенон-131; период полураспада составляет \(T_{1/2} = 8{,}0\) сут.
В ядерной реакции сохраняются массовое число и электрический заряд. Например, для первой реакции равенство массовых чисел записывают как \(14 + 1 = 14 + 1\), а равенство зарядов — как \(7 + 0 = 6 + 1\).
boltОценка остатка по периодам полураспада
После \(n\) периодов полураспада остаётся доля \(1/2^n\) от исходного числа ядер: после трёх периодов — 12,5 %, после семи — меньше 1 %, после десяти — около 0,1 % (\(2^{10} = 1024 \approx 10^3\)). Поэтому при перевозке препарата с фтором-18 в другой город необходимо учитывать заметное снижение его активности за несколько часов. Иод-131 за 80 суток распадается почти полностью.
history_eduРадиоуглеродное датирование
В 1902 году Эрнест Резерфорд и Фредерик Содди поняли, что при радиоактивном распаде одни элементы превращаются в другие, и сформулировали закон распада. В 1949 году Уиллард Либби предложил радиоуглеродное датирование. Пока организм жив, он поддерживает ту же долю углерода-14, что и атмосфера; после гибели запас этого радионуклида только распадается. По остатку \(\ce{^{14}C}\) определяют возраст дерева, кости или ткани до 50 тысяч лет. В 1960 году Либби получил за этот метод Нобелевскую премию по химии.
push_pinГлавное
Химические величины охватывают значения от \(10^{-52}\) до \(10^{24}\), поэтому перед точным расчётом полезно оценить порядок ответа. Кислотность раствора выражают через \(\mathrm{pH} = -\lg[\ce{H+}]\): изменение pH на единицу соответствует десятикратному изменению концентрации, а \(\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14\) при 25 °C. В очень разбавленных растворах при расчёте pH учитывают ионы, образующиеся из воды. Число ядер при радиоактивном распаде убывает по закону \(N = N_0\cdot2^{-t/T_{1/2}} = N_0e^{-kt}\), где \(k = \ln2/T_{1/2}\); через 10 периодов полураспада остаётся около 0,1 % исходного числа ядер.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.