Частица в одномерном ящике

9 заданий

Электрон в ящике

linkОпора

Урок 108. Электрон в атоме — энергетические уровни водородоподобной частицы, квантовые числа и вероятностный смысл орбитали. Границы применимости простой модели
Урок 106. Волны и колебания — гармонические колебания, частота и силовая постоянная; волна, её длина, частота и скорость, волновое число; сложение волн, интерференция и стоячие волны

Морковь оранжевая, а этилен бесцветен, хотя оба содержат двойные связи C=C. В молекуле β-каротина — цепь из 11 сопряжённых двойных связей, и она поглощает синий свет; этилен с одной двойной связью поглощает лишь в дальнем ультрафиолете, около 170 нм. Чем длиннее сопряжённая цепь, тем длиннее волна поглощения. Простейшая модель, объясняющая это, — частица в ящике.

Электрон свободно движется вдоль отрезка длиной \(L\), а выйти за его пределы не может. В уроке 106 мы нашли его уровни: волна электрона обращается в нуль у стенок, на длине \(L\) укладывается целое число полуволн, \(\lambda_n = 2L/n\), импульс \(p = h/\lambda_n = nh/(2L)\) и

\[E_n = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8mL^2},\qquad n = 1, 2, 3, \ldots\]

Волновая функция уровня \(n\) — синусоида \(\psi_n = \sin(n\pi x/L)\); внутри ящика у неё \(n - 1\) узел, а \(\psi_n^2\) показывает, где электрон бывает чаще.

Частица в ящике: уровни энергии растут как n2, у волновой функции n-го уровня n - 1 узел внутри ящика — Частица в ящике: уровни энергии растут как \(n^2\), у волновой функции \(n\)-го уровня \(n - 1\) узел внутри ящика

Три следствия:

энергия квантуется — это прямое следствие условий на стенках;
наименьшая энергия не равна нулю: при \(n = 0\) было бы \(\psi \equiv 0\), то есть частицы нет. Это нулевая энергия: покоиться в ящике частица не может;
уровни тем гуще, чем длиннее ящик: \(E \propto 1/L^2\).

functionsЭнергия перехода между соседними уровнями

\[E_{n+1} - E_n = \frac{h^2}{8mL^2}\left[(n + 1)^2 - n^2\right] = \frac{(2n + 1)h^2}{8mL^2}.\]

Промежутки растут с номером уровня и убывают как \(1/L^2\) с длиной ящика.

task_altМасштаб

Для электрона \(h^2/(8m) = 6{,}02\cdot10^{-38}\) Дж·м². В ящике размером 0,2 нм, порядка размера атома, \(E_1 = 1{,}5\cdot10^{-18}\) Дж \(= 9{,}4\) эВ — как энергии ионизации. В ящике 10 нм — уже 0,004 эВ, меньше тепловой энергии при комнатной температуре (0,026 эВ): квантование почти незаметно.

infoИз истории

Что частицы обладают волновыми свойствами, предположил Луи де Бройль в диссертации 1924 года; научный руководитель сомневался и отправил работу Эйнштейну, который её горячо поддержал. В 1927 году Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер наблюдали дифракцию электронов на кристалле никеля. Де Бройль получил Нобелевскую премию 1929 года.

Сопряжённые молекулы

π-Электроны сопряжённой цепи не закреплены за одной связью, они движутся вдоль всей цепи — это и есть ящик. Цепь из \(N\) атомов углерода даёт \(N\) π-электронов; по принципу Паули на каждом уровне по два электрона, так что заняты уровни \(n = 1 \ldots N/2\). Поглощение света переводит электрон с верхней занятой орбитали (ВЗМО, \(n = N/2\)) на нижнюю свободную (НСМО, \(n = N/2 + 1\)).

functionsПервая полоса поглощения полиена

Подставим \(n = N/2\) в формулу перехода между соседними уровнями:

\[\Delta E = \frac{(2\cdot N/2 + 1)h^2}{8mL^2} = \frac{(N + 1)h^2}{8mL^2},\qquad \lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{8mcL^2}{(N + 1)h}.\]

Длина ящика растёт пропорционально \(N\), поэтому \(\lambda\) растёт примерно пропорционально \(N\), и с удлинением цепи поглощение уходит из ультрафиолета в видимую область.

edit_noteОктатетраен

\(\ce{CH2=CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH2}\): \(N = 8\), ВЗМО — уровень 4, НСМО — уровень 5. Длину ящика примем \(8\cdot0{,}14 = 1{,}12\) нм. Тогда

\[\Delta E = \frac{9\cdot6{,}02\cdot10^{-38}}{(1{,}12\cdot10^{-9})^2} = 4{,}32\cdot10^{-19}\ \text{Дж}, \qquad \lambda = \frac{1{,}986\cdot10^{-25}}{4{,}32\cdot10^{-19}} = 460\ \text{нм}.\]

Опыт даёт около 300 нм. Тенденцию модель передаёт верно, но для длинных цепей завышает длину волны.

ruleГде модель годится

Модель не учитывает отталкивание электронов и чередование коротких и длинных связей в цепи. Для коротких полиенов она даёт разумные оценки, для длинных сильно завышает длину волны; лучше всего она работает для красителей-цианинов, у которых связи в цепи почти одинаковы.

infoЧастица в ящике в природе и технике

Квантовые точки — нанокристаллы полупроводника размером в несколько нанометров. Движение электронов в них ограничено размером кристалла, и чем меньше кристалл, тем больше расстояние между уровнями и тем голубее свечение: из одного вещества получают весь спектр цветов, меняя только размер. Их открыли Алексей Екимов (в стекле, 1981) и Луис Брюс (в растворе, 1983), а удобный синтез придумал Мунги Бавенди (1993) — Нобелевская премия по химии 2023 года. Квантовые точки светятся в экранах современных телевизоров.

push_pinГлавное

Волна электрона в ящике длиной \(L\) обращается в нуль на стенках: \(L = n\lambda/2\), отсюда \(E_n = n^2h^2/(8mL^2)\), \(n = 1, 2, \ldots\) Энергия квантуется, наименьшая не равна нулю, уровни сгущаются с ростом \(L\) (\(E \propto 1/L^2\)); соседние уровни разделены \((2n + 1)h^2/(8mL^2)\). В сопряжённой цепи \(N\) π-электронов занимают \(N/2\) уровней; первая полоса поглощения — переход ВЗМО → НСМО с \(\Delta E = (N + 1)h^2/(8mL^2)\). Модель передаёт тенденцию (длиннее цепь — длиннее волна), но числа — лишь оценка.

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.