Частица в одномерном ящике

9 заданий

Электрон в ящике

Морковь оранжевая, а этилен бесцветен, хотя оба содержат двойные связи C=C. В молекуле β-каротина — цепь из 11 сопряжённых двойных связей, и она поглощает синий свет; этилен с одной двойной связью поглощает лишь в дальнем ультрафиолете, около 170 нм. Чем длиннее сопряжённая цепь, тем длиннее волна поглощения. Простейшая модель, объясняющая это, — частица в ящике.

Электрон свободно движется вдоль отрезка длиной \(L\), а выйти за его пределы не может. Электрон — волна (де Бройль: \(\lambda = h/p\)), и волна должна обращаться в нуль у стенок, как струна гитары, закреплённая на концах: на длине \(L\) укладывается целое число полуволн, \(L = n\lambda/2\). Отсюда \(p = nh/(2L)\) и

\[E_n = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8mL^2},\qquad n = 1, 2, 3, \ldots\]

Частица в ящике: уровни энергии растут как n2, у волновой функции n-го уровня n - 1 узел внутри ящика — Частица в ящике: уровни энергии растут как \(n^2\), у волновой функции \(n\)-го уровня \(n - 1\) узел внутри ящика

Три следствия:

энергия квантуется — прямое следствие граничных условий;
наименьшая энергия не равна нулю (\(n = 0\) означало бы \(\psi \equiv 0\) — частицы нет): это нулевая энергия, покоиться в ящике частица не может;
уровни тем гуще, чем длиннее ящик: \(E \propto 1/L^2\).

task_altМасштаб

Электрон в ящике размером с атом (0,1 нм) имеет \(E_1 \approx 38\) эВ — как энергии ионизации. В ящике 10 нм — уже 0,004 эВ, меньше тепловой энергии при комнатной температуре (0,026 эВ): квантование почти незаметно.

infoИз истории

Что частицы обладают волновыми свойствами, предположил Луи де Бройль в диссертации 1924 года; научный руководитель сомневался и отправил работу Эйнштейну, который её горячо поддержал. В 1927 году Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер наблюдали дифракцию электронов на кристалле никеля. Де Бройль получил Нобелевскую премию 1929 года.

Сопряжённые молекулы

π-Электроны сопряжённой цепи не привязаны к одной связи — они движутся вдоль всей цепи. Это и есть ящик. Цепь из \(N\) атомов углерода даёт \(N\) π-электронов; по принципу Паули на каждом уровне по два электрона, так что заняты уровни \(n = 1 \ldots N/2\). Поглощение света переводит электрон с верхней занятой орбитали (ВЗМО, \(n = N/2\)) на нижнюю свободную (НСМО, \(n = N/2 + 1\)):

\[\Delta E = \frac{h^2}{8mL^2}\left[\left(\frac N2 + 1\right)^2 - \left(\frac N2\right)^2\right] = \frac{(N + 1)h^2}{8mL^2}.\]

Длина ящика растёт пропорционально \(N\), поэтому \(\Delta E\) убывает примерно как \(1/N\), и поглощение с удлинением цепи уходит из ультрафиолета в видимую область.

edit_noteБутадиен

\(N = 4\), длину ящика примем 0,56 нм (четыре атома по 0,14 нм). Переход \(2 \to 3\): \(\Delta E = 5h^2/(8mL^2) = 9{,}6\cdot10^{-19}\) Дж, \(\lambda = hc/\Delta E = 207\) нм. Опыт — 217 нм: для такой простой модели очень неплохо.

ruleГде модель годится

Модель не учитывает отталкивание электронов и чередование коротких и длинных связей. Тенденцию она передаёт верно, но для длинных полиенов сильно завышает длину волны; лучше всего она работает для красителей-цианинов, где связи в цепи почти одинаковы.

infoЧастица в ящике в чистом виде

Квантовые точки — нанокристаллы полупроводника размером в несколько нанометров. Электроны в них «заперты», и чем меньше кристалл, тем больше расстояние между уровнями и тем голубее свечение: из одного вещества получают весь спектр цветов, меняя только размер. Их открыли Алексей Екимов (в стекле, 1981) и Луис Брюс (в растворе, 1983), а удобный синтез придумал Мунги Бавенди (1993) — Нобелевская премия по химии 2023 года. Квантовые точки светятся в экранах современных телевизоров.

push_pinГлавное

Волна электрона в ящике длиной \(L\) обращается в нуль на стенках: \(L = n\lambda/2\), отсюда \(E_n = n^2h^2/(8mL^2)\), \(n = 1, 2, \ldots\) Энергия квантуется, наименьшая не равна нулю, уровни сгущаются с ростом \(L\) (\(E \propto 1/L^2\)). В сопряжённой цепи \(N\) π-электронов занимают \(N/2\) уровней; первая полоса поглощения — переход ВЗМО → НСМО с \(\Delta E = (N + 1)h^2/(8mL^2)\). Модель передаёт тенденцию (длиннее цепь — длиннее волна), но числа — лишь оценка.

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.