Идеальный газ
Уравнение состояния
linkОпора
- Урок 27. Система и её состояние — открытая, закрытая и изолированная системы; фаза, компонент, параметры состояния. Интенсивные и экстенсивные величины
- Урок 24. Энергия, работа и давление — сила и работа, кинетическая и потенциальная энергия, закон сохранения энергии. Давление и работа газа против внешнего давления; единицы энергии и давления, энергия частицы и энергия моля
- Урок 2. Единицы и размерности — сИ, литры и кубические метры, паскали и атмосферы, джоули и килоджоули, кельвины. Различать величину и её числовое значение; проверять размерность обеих частей уравнения
В уроке 27 мы выяснили, что состояние газа задают давление, объём, температура и количество вещества, связанные уравнением состояния. Для газов при невысоком давлении это уравнение простое, и его можно собрать из трёх опытных законов.
functionsУравнение Клапейрона — Менделеева
Опыт даёт три закона для газа при невысоком давлении:
- закон Бойля — Мариотта: при постоянных \(T\) и \(n\) объём обратно пропорционален давлению, \(V \propto 1/p\);
- закон Шарля — Гей-Люссака: при постоянных \(p\) и \(n\) объём пропорционален абсолютной температуре, \(V \propto T\);
- закон Авогадро: при постоянных \(p\) и \(T\) объём пропорционален количеству газа, \(V \propto n\).
Объём — функция трёх переменных \(V(p, T, n)\), пропорциональная \(n\) и \(T\) и обратно пропорциональная \(p\). Значит, \(V = R\,\dfrac{nT}{p}\), где коэффициент \(R\) одинаков для всех газов:
Газовая постоянная \(R = 8{,}314\) Дж/(моль·К) \(= 0{,}08206\) л·атм/(моль·К) \(= 0{,}08314\) л·бар/(моль·К); её значение выбирают по единицам давления и объёма. В джоулях она получается, если давление выражено в паскалях, а объём — в кубических метрах (урок 24).
Модель идеального газа: молекулы — точки без собственного объёма, они не притягиваются и не отталкиваются, а сталкиваются упруго. Она хорошо работает при давлениях до нескольких атмосфер и температурах вдали от конденсации; её границы обсудим в уроке 31.
Температура в уравнении — абсолютная. Объём газа при постоянном давлении линейно растёт с температурой по Цельсию, и продолжение этой прямой в область низких температур пересекает ось при \(-273{,}15\) °C — это абсолютный нуль.
Для неизменного количества газа удобно сравнивать два состояния. Из \(\dfrac{pV}{T} = nR = \text{const}\) следует
постоянная \(R\) и количество газа сокращаются, и единицы давления и объёма могут быть любыми, лишь бы одинаковыми в обеих частях.
infoИз истории
Закон Бойля — Мариотта открыт в 1660–1670-х годах, закон Шарля — Гей-Люссака — к 1802 году. Бенуа Клапейрон объединил их в одно уравнение (1834), а Д. И. Менделеев в 1874 году записал его для произвольного количества газа через универсальную газовую постоянную; поэтому в России оно называется уравнением Клапейрона — Менделеева. Абсолютную шкалу температуры предложил лорд Кельвин (Уильям Томсон) в 1848 году.
Молярный объём и условия
Из уравнения состояния находим объём одного моля: \(V_m = \dfrac{V}{n} = \dfrac{RT}{p}\). Молярный объём одинаков для всех идеальных газов при одних и тех же условиях, но зависит от условий.
| Условия | \(T\) | \(p\) | \(V_m\), л/моль |
|---|---|---|---|
| нормальные (н. у.) | 273,15 К | 101,325 кПа | 22,41 |
| стандартные ИЮПАК | 273,15 К | 100 кПа | 22,71 |
| комнатные (часто в задачах) | 298,15 К | 100 кПа | 24,79 |
| 25 °C и 1 атм | 298,15 К | 101,325 кПа | 24,47 |
error22,4 л/моль — не константа
Если взять 22,4 л/моль для газа при комнатной температуре, количество вещества получится с ошибкой около 10 %. Молярный объём всегда связан с условиями; если они не нормальные, его считают по формуле \(RT/p\).
functionsПлотность газа
Масса газа \(m = nM\), поэтому
Плотность газа пропорциональна давлению и молярной массе и обратно пропорциональна температуре.
При одинаковых \(p\) и \(T\) плотности газов относятся как их молярные массы: \(\dfrac{\rho_1}{\rho_2} = \dfrac{M_1}{M_2}\). Это отношение называют относительной плотностью \(D\) одного газа по другому. Нагретый воздух легче холодного, поэтому поднимается воздушный шар; гелий в семь раз легче воздуха.
Молярная масса по опыту
Уравнение состояния позволяет взвесить молекулу. Подставим \(n = m/M\) в \(pV = nRT\) и выразим молярную массу:
Достаточно измерить массу газа, его объём, температуру и давление.
edit_noteМетод Дюма
Летучую жидкость испаряют в колбе известного объёма при известных \(T\) и \(p\); лишний пар выходит через капилляр. Затем колбу охлаждают и взвешивают конденсат. Масса пара и уравнение состояния дают молярную массу. Так в XIX веке находили молекулярные массы летучих соединений.
lightbulbОт молярной массы — к веществу
Найденную молярную массу сравнивают с кандидатами, согласными с другими данными задачи. \(M = 44\) г/моль имеют и \(\ce{CO2}\), и \(\ce{C3H8}\), и \(\ce{N2O}\), но сгорает с образованием воды только пропан. Точность такого опыта обычно 1–3 %, поэтому выбирают ближайшее разумное значение.
lightbulbПроверка молярного объёма
Моль любого газа при комнатных условиях занимает около 24–25 л — примерно ведро. Если у вас вышел моль газа в стакане или в цистерне, ищите ошибку в единицах давления или объёма.
Эти приёмы — определение состава газа по объёмам и изменениям массы — встречались в заключительном этапе Московской олимпиады 2026 года (11 класс, задача 1).
push_pinГлавное
Из законов Бойля — Мариотта, Шарля — Гей-Люссака и Авогадро следует \(pV = nRT\): по трём параметрам находится четвёртый. Молярный объём \(RT/p\) зависит от условий (22,4 л/моль — только при 0 °C и 1 атм), плотность газа \(\rho = pM/(RT)\), а молярная масса по опыту \(M = mRT/(pV)\).
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.