Первое начало термодинамики

9 заданий

Сохранение энергии

linkОпора

Урок 33. Внутренняя энергия и передача энергии — различать внутреннюю энергию, теплоту и работу. Выбрать химическое соглашение: работа, совершаемая над системой, положительна
Урок 34. Работа расширения — внешнее давление и изменение объёма; обратимое и необратимое расширение. Геометрический смысл работы на диаграмме давления и объёма
Урок 20. Полный дифференциал, функции состояния и функции процесса — полный дифференциал и изменение величины при одновременном изменении нескольких переменных. Признак полного дифференциала, независимость от пути, правила взаимности и цепочки

В уроке 33 мы ввели внутреннюю энергию, теплоту и работу, в уроке 34 научились считать работу расширения. Первое начало термодинамики связывает их в одно уравнение.

functionПервое начало термодинамики

Энергия изолированной системы постоянна. Для закрытой системы изменение внутренней энергии равно сумме полученной теплоты и работы, совершённой над ней:

\[\Delta U = Q + W.\]

Следствие: вечный двигатель первого рода невозможен — нельзя получать работу в цикле, не затрачивая энергии. В цикле \(\Delta U = 0\), поэтому работа, совершённая системой (\(-W\)), равна полученной теплоте \(Q\).

infoИнтересный факт

Ещё до формулировки первого начала опыт убедил учёных: Парижская академия наук в 1775 году постановила больше не рассматривать проекты вечных двигателей. Патентные ведомства многих стран до сих пор требуют от изобретателей таких машин действующую модель.

Одна система, два пути между состояниями 1 и 2: теплота и работа на путях разные, изменение внутренней энергии — одно и то же

Эта картина — главная наглядность модуля: \(\Delta U\) определяется только начальным и конечным состояниями, а распределение между \(Q\) и \(W\) — выбранным путём.

Изохорный процесс

functionsТеплота при постоянном объёме

Если объём постоянен, \(dV = 0\), и работа расширения \(\delta W = -p\,dV\) равна нулю. Первое начало даёт \(dU = \delta Q_V\): вся теплота идёт на изменение внутренней энергии. Теплоёмкость при постоянном объёме — скорость роста внутренней энергии с температурой, когда объём закреплён, то есть частная производная (урок 19):

\[C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad Q_V = \Delta U = nC_{V,m}\,\Delta T\ \text{при постоянной}\ C_V.\]

Для идеального газа из \(U = \tfrac32nRT\) (урок 33) находим \(C_{V,m} = \tfrac32R = 12{,}5\) Дж/(моль·К) для одноатомного газа, а из \(U = \tfrac52nRT\) — \(C_{V,m} = \tfrac52R = 20{,}8\) Дж/(моль·К) для двухатомного при комнатной температуре.

bookmarkКалориметрическая бомба

Прочный стальной сосуд постоянного объёма, в котором сжигают вещество в кислороде. Теплота, измеренная в бомбе, — это \(Q_V = \Delta U\) реакции (урок 36; переход к \(\Delta H\) — урок 37).

Свободное расширение идеального газа

Опыт Джоуля: газ из одного баллона расширяется в другой, откачанный, а вся установка теплоизолирована.

\(W = 0\): газ расширяется в пустоту;
\(Q = 0\): теплоизоляция;
значит, \(\Delta U = 0\).

У идеального газа \(U\) зависит только от \(T\), поэтому температура при свободном расширении не меняется. Реальный газ слегка охлаждается: при раздвижении молекул против сил притяжения часть кинетической энергии переходит в потенциальную (модель Ван-дер-Ваальса, урок 31).

edit_noteОбратимое изотермическое расширение

Здесь \(\Delta U = 0\) тоже (изотерма идеального газа), но работа не равна нулю: \(W = -nRT\ln(V_2/V_1)\) (урок 34). Первое начало требует, чтобы газ получил ровно столько же теплоты: \(Q = -W = nRT\ln(V_2/V_1)\). При изотермическом расширении газ превращает в работу всю полученную теплоту.

Сводка для идеального газа:

Процесс	\(W\) (над газом)	\(Q\)	\(\Delta U\)
изохорный	\(0\)	\(nC_V\Delta T\)	\(nC_V\Delta T\)
изобарный	\(-p\Delta V\)	\(nC_p\Delta T\)	\(nC_V\Delta T\)
изотермический обратимый	\(-nRT\ln(V_2/V_1)\)	\(-W\)	\(0\)
адиабатический	\(\Delta U\)	\(0\)	\(nC_V\Delta T\)
свободное расширение	\(0\)	\(0\)	\(0\)
цикл	\(-Q\)	\(-W\)	\(0\)

Столбец \(\Delta U\) всегда равен \(nC_V\Delta T\), какой бы ни был процесс: для идеального газа \(U\) зависит только от температуры. Изобарный процесс разберём в уроке 37, адиабатический — в уроке 41.

task_altКак не ошибиться со знаком

Сначала решите, что известно из условия: теплоизоляция — \(Q = 0\), жёсткий сосуд — \(W = 0\), термостат с идеальным газом — \(\Delta U = 0\). Затем найдите третью величину из \(\Delta U = Q + W\) и проверьте знак по смыслу: газ, совершивший работу, отдал энергию (\(W < 0\)).

push_pinГлавное

Энергия сохраняется: \(\Delta U = Q + W\). При постоянном объёме вся теплота идёт на изменение внутренней энергии: \(Q_V = \Delta U\), а \(C_V = (\partial U/\partial T)_V\) (\(\tfrac32R\) для одноатомного идеального газа). При свободном расширении идеального газа \(Q = W = \Delta U = 0\), при изотермическом \(Q = -W\).

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.