Работа расширения

9 заданий

Работа против внешнего давления

linkОпора

Урок 33. Внутренняя энергия и передача энергии — различать внутреннюю энергию, теплоту и работу. Выбрать химическое соглашение: работа, совершаемая над системой, положительна
Урок 15. Интеграл как накопленное изменение — суммирование малых вкладов, площадь под графиком, определённый интеграл. Простые интегралы постоянной, степени и обратной величины
Урок 16. Приёмы интегрирования — линейность интеграла, замена переменной с пересчётом пределов, разложение дроби на простейшие, интегрирование по частям. Интегралы, которые встречаются в термодинамике и кинетике

В уроке 24 мы вывели работу газа, толкающего поршень: \(\delta A = p\,dV\). Теперь запишем её в химическом соглашении (урок 33) и уточним, какое давление в неё входит.

functionsРабота расширения

Поршень движется против внешнего давления \(p_\text{внеш}\): именно с такой силой на единицу площади окружение сопротивляется расширению. Газ при малом расширении \(dV\) совершает над окружением работу \(p_\text{внеш}\,dV\), а работа над газом противоположна по знаку:

\[\delta W = -p_\text{внеш}\,dV, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2} p_\text{внеш}\,dV.\]

При постоянном внешнем давлении интеграл равен произведению (урок 15):

\[W = -p_\text{внеш}\,\Delta V.\]

Решающее давление — внешнее, а не давление газа: газ, расширяющийся в пустоту (\(p_\text{внеш} = 0\)), работы не совершает.

edit_noteГаз из реакции отодвигает атмосферу

Реакция в открытом сосуде выделяет 1,00 моль газа при 298 К и 1 бар. Газ занимает объём \(\Delta V = \Delta n\,RT/p\) и отодвигает атмосферу:

\[W = -p\,\Delta V = -\Delta n\,RT = -1{,}00\cdot8{,}314\cdot298 = -2{,}48\ \text{кДж}.\]

Эта часть энергии реакции уходит на работу против атмосферы — отсюда разница между \(\Delta H\) и \(\Delta U\) (урок 37).

lightbulbЕдиницы

кПа·л \(=\) Дж, бар·л \(= 100\) Дж, атм·л \(= 101{,}3\) Дж.

Обратимое и необратимое расширение

Работа зависит от того, как именно менялось внешнее давление. Сравним два способа расширить идеальный газ при постоянной температуре от \(V_1\) до \(V_2\).

Обратимый процесс идёт через последовательность равновесных состояний: внешнее давление в каждый момент лишь бесконечно мало отличается от давления газа. Такой процесс можно в любой момент повернуть вспять бесконечно малым изменением условий.

functionsРабота обратимого изотермического расширения

При обратимом процессе \(p_\text{внеш} = p = nRT/V\). При постоянной температуре \(nRT\) выносится за знак интеграла, и по уроку 15

\[W_\text{обр} = -\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,dV = -nRT\ln\frac{V_2}{V_1} = -nRT\ln\frac{p_1}{p_2}.\]

Последнее равенство следует из закона Бойля — Мариотта: \(V_2/V_1 = p_1/p_2\).

Необратимое расширение в один шаг идёт против постоянного внешнего давления, равного конечному давлению газа \(p_2\): \(W = -p_2(V_2 - V_1)\).

Работа — площадь под графиком внешнего давления: при обратимом расширении (под изотермой) она больше, чем при расширении в один шаг против давления p2 (прямоугольник) — Работа — площадь под графиком внешнего давления: при обратимом расширении (под изотермой) она больше, чем при расширении в один шаг против давления \(p_2\) (прямоугольник)

functionsПочему обратимая работа наибольшая

Сравним модули работ, разделив их на \(nRT = p_2V_2\): обратимая даёт \(\ln x\), а одношаговая — \(\dfrac{p_2(V_2 - V_1)}{p_2V_2} = 1 - \dfrac1x\), где \(x = V_2/V_1 > 1\). Функция \(g(x) = \ln x - 1 + \dfrac1x\) равна нулю при \(x = 1\), а её производная \(g'(x) = \dfrac1x - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x - 1}{x^2} > 0\) (урок 13). Значит, при \(x > 1\) \(g(x) > 0\), и \(|W_\text{обр}| > |W_\text{необр}|\).

При обратимом расширении газ всё время преодолевает наибольшее возможное сопротивление и поэтому совершает наибольшую работу. Обратимый процесс — идеализация (он бесконечно медленный), но он задаёт предел, с которым сравнивают реальные процессы. При сжатии всё наоборот: обратимое сжатие требует наименьшей работы.

Работа на диаграмме давление — объём

На диаграмме \(p\)–\(V\) работа расширения по модулю равна площади под линией процесса (под графиком внешнего давления). Отсюда наглядно: разные пути между одними и теми же состояниями дают разную работу — работа не функция состояния (урок 20).

bookmarkЦиклический процесс

Система возвращается в исходное состояние: \(\Delta U = 0\), поэтому \(Q = -W\). Суммарная работа цикла по модулю равна площади, ограниченной циклом. Если на диаграмме \(p\)–\(V\) цикл обходится по часовой стрелке, система совершает работу (\(W < 0\)) — так работает тепловой двигатель.

functionsРабота цикла как разность площадей

На верхней ветви цикла газ расширяется, и работа газа равна площади под ней. На нижней ветви газ сжимается, и над ним совершают работу, равную площади под нижней ветвью. Сумма со знаками — разность площадей, то есть площадь внутри цикла:

\[-W_\text{цикла} = \oint p\,dV = S_\text{верх} - S_\text{низ}.\]

infoИз истории

Термодинамика родилась из инженерной задачи. Молодой французский инженер Сади Карно в 1824 году опубликовал «Размышления о движущей силе огня» — о том, какую наибольшую работу может дать паровая машина. Его идеальный цикл из обратимых процессов остаётся эталоном для любого теплового двигателя (урок 44).

errorРабота — не функция состояния

Нельзя говорить «работа газа в состоянии 2»: работа относится к процессу. Функция состояния — объём, а работа зависит от того, как менялось давление по пути.

push_pinГлавное

Работа над газом \(W = -\int p_\text{внеш}\,dV\) — площадь под графиком внешнего давления со знаком минус; против постоянного давления \(W = -p_\text{внеш}\Delta V\). При обратимом изотермическом расширении идеального газа \(W = -nRT\ln(V_2/V_1)\); эта работа по модулю наибольшая, так как \(\ln x > 1 - 1/x\).

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.