Пар и влажность: разбор задачи 11-3 регионального этапа ВсОШ по химии 2024–2025

Поставьте в закрытой комнате ведро с водой, и влажность начнёт расти: сначала заметно, а потом всё медленнее. Почему медленнее, если воды в ведре ещё много? Потому что пар не только образуется, но и конденсируется обратно. Эту картину описывает одна короткая формула, и из двух замеров влажности по ней можно предсказать, что будет через сутки. Задача небольшая, но в ней сходятся кинетика, равновесие и уравнение идеального газа.

Это третья задача теоретического тура регионального этапа 2024–2025 для 11 класса, разбор предыдущей — в статье «Неорганический каучук». Основные понятия кинетики разобраны в статье «Основы химической кинетики».

• 1. О чём задача
• 2. Что нужно знать перед решением
• 3. Пункт 1: какой порядок у конденсации
• 4. Пункт 2: график
• 5. Пункт 3: константа и время
• 6. Пункт 4: сколько воды было в ведре
• 7. Пункт 5: углеводород под колпаком
• 8. Насколько реальны эти числа
• 9. Ответы коротко
• 10. Порядок действий в таких задачах
• 11. Что вынести для других задач
• 12. Типичные ошибки
• 13. Частые вопросы
• Задания для тренировки
• Литература

1. О чём задача

Официальные условие и решение опубликованы организаторами [1, 2]; автор задачи в решении указан как В. В. Ерёмин. Перескажем условие своими словами.

Открытый сосуд с жидкостью X стоит в помещении, где давление её пара P₀ меньше насыщенного P_нас. Жидкость испаряется, и давление пара растёт по закону

P(t) − P_нас = (P₀ − P_нас) · e^−kt

где k — константа скорости конденсации пара. Влажность — это отношение P / P_нас для паров воды.

Требуется:

1. определить кинетический порядок конденсации и кратко пояснить ответ;
2. построить график давления пара от времени и отметить на нём P₀ и P_нас;
3. в закрытую комнату с влажностью 70 % поставили ведро воды, через 10 часов влажность стала 80 %: а) найти k; б) найти, через сколько часов влажность вырастет до 95 %;
4. вода из ведра полностью испарилась, и влажность стала 95 %: найти массу воды, если объём комнаты 60 м³, температура 25 °C, давление насыщенных паров 23,8 мм рт. ст., начальная влажность 70 %;
5. стакан объёмом 500 мл заполнили жидким углеводородом X, взвесили и накрыли стеклянным колпаком объёмом 5 л. После установления равновесия давление под колпаком выросло на 58 кПа при 20 °C, а масса стакана снизилась на 7,70 г: установить формулу X.

Всего за задачу дают 15 баллов [2].

2. Что нужно знать перед решением

Насыщенный пар

Молекулы жидкости постоянно вылетают через её поверхность, а молекулы пара постоянно на неё возвращаются. Если жидкость находится в закрытом объёме, пар накапливается, и обратный поток растёт, пока не сравняется с прямым. Такое состояние называют динамическим равновесием, а пар в этом состоянии — насыщенным. Его давление P_нас зависит только от природы жидкости и температуры, а объём сосуда и присутствие воздуха на него почти не влияют.

Парциальное давление и закон Дальтона

В смеси газов каждый газ ведёт себя так, будто других нет: он создаёт своё, парциальное давление, а общее давление равно их сумме. Поэтому к пару в комнате можно применять уравнение PV = nRT с его собственным давлением, не обращая внимания на воздух. Давление пара воды в комнате составляет всего около двух десятков миллиметров ртутного столба, намного меньше атмосферного.

Влажность

Относительная влажность — это отношение давления пара воды к давлению насыщенного пара при той же температуре. При влажности 70 % давление пара составляет 70 % от насыщенного.

Реакция первого порядка

Скорость такой реакции пропорциональна концентрации в первой степени: v = kc. Интегрирование этого уравнения даёт экспоненту c = c₀e^−kt, а время уменьшения вдвое постоянно и равно ln 2 / k. Константа измеряется в обратных единицах времени. Подробно об этом говорится в статье «Основы химической кинетики».

3. Пункт 1: какой порядок у конденсации

Короткий ответ, который приводит решение: показатель экспоненты kt безразмерен, значит, k измеряется в обратных единицах времени, а это признак первого порядка [2].

Полезно увидеть больше. Продифференцируем данную формулу по времени:

dP/dt = −k(P₀ − P_нас)e^−kt = −k(P − P_нас) = kP_нас − kP

Теперь видно всё устройство процесса. Давление растёт за счёт двух встречных потоков:

• Конденсация идёт со скоростью kP. Она пропорциональна давлению пара в первой степени, поэтому это первый порядок. Чем больше молекул в паре, тем чаще они попадают на поверхность жидкости.
• Испарение идёт со скоростью kP_нас. Она постоянна и от давления пара не зависит, потому что определяется только жидкостью и температурой. Это нулевой порядок.

Когда P = P_нас, скорости равны, и наступает равновесие. Отсюда сразу понятен физический смысл насыщенного пара: при таком давлении сколько молекул уходит из жидкости, столько и возвращается.

Если вы знакомы с интегрированием, можно пройти обратный путь: разделить переменные в уравнении скорости и получить формулу из условия.

dP / (P_нас − P) = k dt, откуда −ln(P_нас − P) = kt + const

Постоянную находим из условия P = P₀ при t = 0 и приходим к формуле условия. Обратите внимание на сходство с обычной реакцией первого порядка:

4. Пункт 2: график

Перепишем формулу так: P(t) = P_нас − (P_нас − P₀)e^−kt. При t = 0 получаем P₀. С ростом времени экспонента стремится к нулю, а P приближается к P_нас. Производная положительна и уменьшается, поэтому кривая монотонно растёт и выпуклостью обращена вверх.

Строить такой график на олимпиаде удобно в четыре шага:

1. Нарисуйте оси и отметьте на оси давления значения P₀ и P_нас, причём P₀ ниже.
2. Проведите штриховую горизонтальную линию на уровне P_нас.
3. Начните кривую в точке (0; P₀) с наибольшим наклоном.
4. Постепенно уменьшайте наклон, чтобы кривая подходила к штриховой линии, не пересекая её.

Система оценивания требует четырёх элементов: монотонный рост, стремление к пределу, отмеченные P₀ и P_нас. Перегиб на графике не штрафуется, хотя настоящая кривая его не имеет [2].

5. Пункт 3: константа и время

Разделим данную формулу на P_нас. Обозначим влажность φ = P / P_нас, тогда

1 − φ(t) = (1 − φ₀)e^−kt

Величина 1 − φ — это то, сколько не хватает до насыщения. Назовём её дефицитом. Именно он убывает экспоненциально, как концентрация в реакции первого порядка. Само P_нас из расчёта ушло, поэтому знать его здесь не нужно.

а) Константа

Дефицит уменьшился с 30 % до 20 % за 10 ч:

0,2 = 0,3 · e^−10k, откуда k = ln(0,3/0,2) / 10 = 0,0405 ч⁻¹

Разберём это преобразование подробно. Подставляем 0,8 и 0,7 в формулу, получаем 0,2 = 0,3 · e^−10k. Делим обе части на 0,3: e^−10k = 2/3. Логарифмируем: −10k = ln(2/3) = −0,405. Отсюда k = 0,0405 ч⁻¹. Если забыть размерность, балл снижается: система оценивания отдельно это учитывает [2].

б) Время до 95 %

Дефицит должен упасть с 30 % до 5 %:

0,05 = 0,3 · e^−kt, откуда t = ln(0,3/0,05) / k = ln 6 / 0,0405 ≈ 44,2 ч

Время отсчитывается от того момента, когда поставили ведро. Константу можно и не считать: t = 10 · ln 6 / ln 1,5 = 44,2 ч. Такой приём удобен тем, что в него не попадает ошибка округления k.

Посчитаем влажность для разных моментов времени по формуле φ = 1 − 0,3e^−0,0405t:

В таблице легко увидеть главное свойство: за каждые равные промежутки времени дефицит умножается на одно и то же число. За каждые 10 ч он уменьшается в 1,5 раза: 30 → 20 → 13,3 → 8,9. Сам рост влажности при этом всё медленнее.

Заметьте, сколько занимают последние проценты. Первые 10 процентов роста заняли 10 часов, а следующие 15 процентов ещё 34 часа. Время уменьшения дефицита вдвое постоянно и равно ln 2 / k ≈ 17,1 ч, как период полураспада: дефицит 30 % становится 15 % за 17,1 ч, а затем 7,5 % ещё за 17,1 ч.

6. Пункт 4: сколько воды было в ведре

Прибавка влажности с 70 % до 95 % создана только испарившейся водой:

ΔP = 0,25 · 23,8 = 5,95 мм рт. ст. = 5,95 / 760 · 101 325 = 793 Па

Давление пара берём как парциальное и применяем к нему уравнение состояния идеального газа. Объём 60 м³ уже в единицах СИ, поэтому давление подставляем в паскалях:

m = ΔP · V · M / (RT) = 793 · 60 · 18 / (8,314 · 298) ≈ 346 г

Разберём расчёт по шагам:

1. Давление в Па. 760 мм рт. ст. равны 101 325 Па, поэтому 5,95 мм рт. ст. = 793 Па.
2. Количество вещества. n = PV / (RT) = 793 · 60 / (8,314 · 298) = 19,2 моль.
3. Масса. 19,2 · 18 = 346 г.

Можно считать и иначе, через полную массу пара. При 70 % в комнате 969 г воды в виде пара, при 95 % уже 1314 г. Разность с учётом округления составляет те же 346 г. Для всего насыщения нужно 1384 г.

Вышло меньше трети литра. Для сравнения, полностью насытить паром эту комнату от нуля можно было бы примерно 1,4 кг воды. Воздух удерживает воды удивительно мало, и обычное ведро увлажнило бы такую комнату с огромным запасом.

7. Пункт 5: углеводород под колпаком

Здесь есть простая ловушка: сколько места занимает пар? Стакан объёмом 500 мл заполнен жидкостью, поэтому в свободном пространстве колпака остаётся 4,5 л, а не 5 л. Рост давления равен парциальному давлению пара X, потому что воздух под колпаком остался прежним. По массе и давлению находим количество вещества и молярную массу:

n = PV / (RT) = 58 · 4,5 / (8,314 · 293) = 0,107 моль

M = 7,70 / 0,107 ≈ 72 г/моль

Килопаскали, умноженные на литры, дают джоули, поэтому такая подстановка верна. Углеводород с такой массой один: 12x + y = 72 даёт x = 5, y = 12. X — пентан C₅H₁₂ [2].

Почему рост давления равен именно давлению пара? Воздух под колпаком никуда не делся и занимает прежний объём при прежней температуре, поэтому его парциальное давление не изменилось. Прибавка могла появиться только за счёт пара. А поскольку установилось равновесие и жидкость ещё осталась, этот пар насыщенный.

Единственность формулы тоже стоит проверить перебором. Углеводород C_xH_y с M = 72 должен удовлетворять 12x + y = 72 при y ≤ 2x + 2. При x = 4 получается y = 24, намного больше допустимых 10. При x = 5 получается y = 12, что в точности равно 2x + 2. При x = 6 водорода уже нет. Значит, вариант один и это предельный углеводород.

Если забыть про стакан и взять 5 л, получится M = 64,7 г/моль, что отвечает странной формуле C₅H₄. Это уже повод остановиться и проверить расчёт.

Какой именно пентан

В условии сказано «формула», и этого достаточно. Но данные позволяют пойти дальше: рост давления в опыте — это давление насыщенного пара при 20 °C. Сравним со справочными значениями, рассчитанными по уравнению Антуана [3]:

Значение 58 кПа близко к неразветвлённому пентану и далеко от остальных. Так что в опыте, скорее всего, именно он. Заодно видно, как влияет разветвление: чем компактнее изомер, тем слабее межмолекулярное притяжение и тем выше давление пара. Об изомерах алканов и их устойчивости рассказано в разборе 10-3.

8. Насколько реальны эти числа

В этой задаче, в отличие от задачи 11-1, числа хорошо согласуются с действительностью, и проверить это интересно.

• Давление пара воды. 23,8 мм рт. ст. при 25 °C — верное значение: 3,17 кПа по данным NIST [3].
• Скорость испарения. В начале опыта dφ/dt = 0,0405 · 0,30 = 1,2 % в час. Один процент влажности в этой комнате соответствует 13,8 г воды, поэтому ведро отдаёт около 17 г в час. На наш взгляд, для спокойного воздуха такой порядок величины правдоподобен.

Любопытно другое. Предельную скорость встречи молекул с поверхностью можно оценить из молекулярно-кинетической теории: это четверть средней скорости молекул, примерно 148 м/с для пара при 25 °C [4]. Если умножить её на отношение площади поверхности к объёму комнаты, для ведра с площадью 0,07 м² получится k порядка 600 ч⁻¹, в 15 000 раз больше наблюдаемых 0,04 ч⁻¹. Эта оценка наша и грубая, но смысл ясен: на самом деле медленным является не сам переход молекул через границу, а их перенос в воздухе: пару нужно отойти от поверхности за счёт диффузии и движения воздуха. Поэтому в реальности k зависит от размера поверхности и от того, движется ли воздух, а название «константа скорости конденсации» в условии описывает весь процесс целиком.

Отсюда понятна и бытовая примета: вентилятор ускоряет испарение во много раз, хотя температура и давление те же.

9. Ответы коротко

1. Первый порядок.
2. Кривая монотонно растёт от P₀ и стремится к P_нас.
3. а) k = 0,0405 ч⁻¹; б) 44,2 ч.
4. 346 г.
5. V = 4,5 л, M = 72 г/моль, X — C₅H₁₂.

Все ответы совпадают с опубликованным решением [2].

10. Порядок действий в таких задачах

1. Определите, что стремится к чему. Если величина выходит на предел, экспоненциально убывает разность с этим пределом.
2. Перейдите к удобной величине. Здесь это дефицит влажности, который не содержит P_нас.
3. Найдите k из двух точек, а затем используйте её для других точек. Не забудьте размерность.
4. Для газа используйте его парциальное давление и то, какой объём он реально занимает.
5. Переводите единицы: давление в Па и объём в м³ или давление в кПа и объём в л. Температуру всегда в кельвинах.
6. Проверяйте ответ на разумность. Ответ C₅H₄ вместо пентана уже должен насторожить.

11. Что вынести для других задач

• Экспонента с константой в показателе означает первый порядок. Проверка по размерности занимает секунду.
• Если непонятен механизм, продифференцируйте формулу. Так из готового решения можно получить уравнение скорости с двумя встречными процессами.
• Приближение к равновесию всегда идёт по экспоненте для процессов первого порядка. Убывает расстояние до равновесия, а не само значение.
• Работайте с безразмерной величиной. Деление на P_нас убрало из расчёта лишний параметр.
• Отношение логарифмов экономит шаг. Время можно найти, не вычисляя k.
• Сверяйтесь с единицами. кПа · л = Дж, а Па · м³ = Дж. Важно только не смешивать их.
• Спрашивайте, какой объём занимает газ. Жидкость в сосуде этот объём уменьшает.

Следующая задача того же тура разобрана в статье «Гликолевая кислота и её родственники: разбор задачи 11-4».

12. Типичные ошибки

• Рисовать прямую. Рост замедляется, и кривая не может перейти через P_нас.
• Считать, что влажность растёт равномерно. Тогда 95 % получилось бы через 25 часов, а не через 44,2.
• Подставить в экспоненту саму влажность, а не дефицит. Экспоненциально убывает 1 − φ.
• Отсчитать время от момента 80 %. Вопрос о времени от начала опыта, а иначе получится 34,2 ч.
• Считать массу воды по всей влажности 95 %. Испарилась только та вода, что дала прибавку в 25 %.
• Забыть перевести мм рт. ст. в Па. Получится ошибка более чем в 100 раз.
• Подставить температуру в градусах Цельсия. Уравнение состояния требует кельвинов.
• Взять объём 5 л в пункте 5. Стакан заполнен жидкостью, а пар занимает только 4,5 л.
• Сложить атмосферное и 58 кПа. Количество пара считается только по его парциальному давлению.

13. Частые вопросы

Почему у испарения нулевой порядок? Пар в уравнение его скорости не входит, а количество молекул у поверхности жидкости постоянно. Жидкость «не знает», сколько пара над ней. Поэтому скорость испарения при данной температуре неизменна.

Почему тогда k одинакова для обоих процессов? Это следует из условия равновесия: при P = P_нас скорости равны, поэтому скорость испарения можно записать как kP_нас. Константа здесь одна, а P_нас служит множителем.

Важно ли, что ведро не бесконечное? Формула верна, пока вода есть. В пункте 4 условие сообщает, что вода закончилась при 95 %. Дальше давление пара перестанет расти.

А если комната меньше? Скорость уноса воды останется той же, а на единицу объёма она станет больше, поэтому k вырастет. При прочих равных k пропорциональна отношению площади поверхности к объёму комнаты.

Почему 346 г так мало для целой комнаты? Давление пара воды при 25 °C в 32 раза меньше атмосферного, а молярная масса воды меньше средней массы воздуха. В 1 м³ насыщенного воздуха при этой температуре только 23 г воды.

Куда девается объём жидкости, которая испарилась под колпаком? Испарилось около 12 мл, поэтому свободный объём вырос примерно с 4,500 до 4,512 л. Поправка составляет 0,3 % и на формулу не влияет.

Откуда взялось слово «дефицит»? В метеорологии так называют разность между давлением насыщенного и реального пара. В статье это то же самое, только выраженное в долях от P_нас.

Зависит ли P_нас от давления воздуха? Почти нет: при обычных условиях поправка ничтожна. Поэтому закрытая комната и пустой сосуд дают одно и то же P_нас при той же температуре, но с воздухом пар распространяется гораздо медленнее.

Может ли влажность превысить 100 %? В равновесии над жидкостью нет. Если перенасыщенный пар образуется, например при резком охлаждении, он быстро конденсируется на каплях и пылинках: так рождаются туман и облака.

Задания для тренировки

Считайте закон из условия выполненным.

1. Влажность в комнате выросла с 40 % до 60 % за 5 ч. Найдите k и время от начала опыта, за которое влажность вырастет до 90 %.

   Разбор

   k = ln(0,6/0,4) / 5 = 0,0811 ч⁻¹. t = ln(0,6/0,1) / k = 22,1 ч.

2. Через сколько часов от начала опыта в условиях задачи влажность станет 99 %? Какова скорость роста влажности в начале и при 90 %?

   Разбор

   t = ln(0,3/0,01) / 0,0405 = 83,9 ч. Скорость равна k(1 − φ): в начале 1,2 % в час, при 90 % — 0,4 % в час.

3. Какая масса воды испаряется в первый час в условиях задачи, если объём комнаты 60 м³? Используйте начальную скорость.

   Разбор

   Прибавка в 25 % соответствует 346 г, то есть 1 % влажности равен 13,8 г. В первый час влажность растёт примерно на 1,2 %, поэтому испаряется около 17 г.

4. Какую массу воды нужно испарить при 35 °C (давление насыщенного пара 42,2 мм рт. ст.), чтобы влажность в той же комнате выросла на 25 %?

   Разбор

   ΔP = 10,55 мм рт. ст. = 1407 Па. m = 1407 · 60 · 18 / (8,314 · 308) ≈ 593 г. Заметно больше, чем при 25 °C, потому что давление насыщенного пара растёт быстрее температуры.

5. То же ведро поставили в комнату объёмом 30 м³. Как изменятся k и время достижения 95 %, если начальная влажность 70 %?

   Разбор

   Поток воды с той же поверхности тот же, а объём вдвое меньше, поэтому k вдвое больше: 0,081 ч⁻¹. Время вдвое меньше: 22,1 ч. Масса воды вдвое меньше: 173 г.

6. Стакан 1,0 л с углеводородом накрыли колпаком 10 л при 20 °C. Давление выросло на 16,0 кПа, масса снизилась на 5,09 г. Найдите формулу.

   Разбор

   Свободный объём 9,0 л, n = 16,0 · 9,0 / (8,314 · 293,15) = 0,0591 моль, M = 86,1 г/моль. Это C₆H₁₄.

7. Уточните расчёт пункта 5, учтя, что объём пара вырос на объём испарившейся жидкости (плотность пентана 0,626 г/мл).

   Разбор

   Испарилось 7,70 / 0,626 = 12,3 мл. Новый объём 4,512 л, n = 0,1074 моль, M = 71,7 г/моль. Формула та же.

8. Давление пара над жидкостью растёт от 0 до P_нас с k = 0,20 мин⁻¹. Через какое время будет достигнуто 50 % и 90 % от P_нас?

   Разбор

   t = ln 2 / 0,20 = 3,5 мин и t = ln 10 / 0,20 = 11,5 мин.

Литература

1. Всероссийская олимпиада школьников по химии 2024–2025. Региональный этап, теоретический тур, 11 класс. Задания. https://www.chem.msu.ru/rus/olimpiad/russia/2025-regional/teor-11-zad.pdf
2. Всероссийская олимпиада школьников по химии 2024–2025. Региональный этап, теоретический тур, 11 класс. Решения и система оценивания. https://www.chem.msu.ru/rus/olimpiad/russia/2025-regional/teor-11-resh.pdf
3. NIST Chemistry WebBook, SRD 69. Phase change data: pentane, 2-methylbutane, 2,2-dimethylpropane, water. https://webbook.nist.gov/chemistry/
4. Eames I. W., Marr N. J., Sabir H. The evaporation coefficient of water: a review. Int. J. Heat Mass Transfer 1997, 40, 2963–2973.