Первый порядок

8 заданий

Экспоненциальный закон

Для реакции первого порядка \(-\dfrac{dc}{dt} = kc\): скорость пропорциональна тому, что осталось. Интегрируем:

\[\ln\frac{c}{c_0} = -kt, \qquad c = c_0e^{-kt}.\]

За любые равные промежутки времени концентрация уменьшается в одно и то же число раз. Период полупревращения

\[t_{1/2} = \frac{\ln2}{k}\]

не зависит от \(c_0\): половина, потом половина половины — и так далее.

Откуда экспонента? У каждой молекулы (или ядра) одна и та же вероятность превратиться за секунду — \(k\), и она не зависит ни от соседей, ни от «возраста» частицы. Тогда за время \(dt\) превращается доля \(k\,dt\) оставшихся — это и есть \(dc = -kc\,dt\). Величину \(\tau = 1/k\) называют средним временем жизни: за \(\tau\) концентрация падает в \(e = 2{,}72\) раза.

Реакция первого порядка: за каждый период полупревращения остаётся половина вещества — от 100 % к 50, 25, 12,5 %

Радиоактивный распад и датировка

Распад ядер — классический первый порядок: каждое ядро распадается независимо от соседей. Живые организмы поддерживают долю \(\ce{^{14}C}\) такой же, как в атмосфере; после гибели она убывает с периодом 5730 лет. Измерив остаток, находят возраст.

edit_noteИсходное количество по продукту

Если распад \(\ce{A -> P}\) идёт в закрытой системе, исходное количество — сумма оставшегося A и накопившегося P: \(n_0 = n_\text{A} + n_\text{P}\). Так калий-аргоновым методом датируют горные породы: \(\ce{^{40}K}\) превращается в аргон, запертый в кристалле.

infoИнтересный факт

В медицинской диагностике чаще всего используют изотоп технеций-99m с периодом полураспада 6 часов: за это время препарат успевает попасть в нужный орган и дать изображение, а через сутки его активность падает в 16 раз. Короче — не успеет дойти, длиннее — лишнее облучение.

lightbulbЛайфхак: таблетки по часам

Многие лекарства выводятся из организма по первому порядку. Если период полувыведения 6 часов, то через сутки остаётся \(1/16\) дозы — поэтому таблетки назначают принимать через равные промежутки, а не «когда вспомнил»: так концентрация колеблется в нужном коридоре.

push_pinГлавное

Первый порядок: \(c = c_0e^{-kt}\), \(\ln c\) линейно убывает со временем, период полупревращения \(t_{1/2} = \ln2/k\) не зависит от начальной концентрации. Так распадаются радиоактивные ядра и идут многие мономолекулярные реакции. Исходное количество находят как сумму оставшегося вещества и образовавшегося из него продукта.

Закрепите теорию: 8 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.