Первый порядок

8 заданий

Экспоненциальный закон

linkОпора

Урок 80. Порядок и закон скорости — частные и общий порядки, единицы константы скорости. Порядок является характеристикой экспериментального закона
Урок 17. Простейшие дифференциальные уравнения — уравнение первого порядка, разделение переменных и начальное условие. Вывести экспоненциальный закон и проверить решение обратной подстановкой
Урок 9. Экспонента и характерное время — показательная функция, экспоненциальное убывание и приближение к пределу. Период полупревращения и постоянная времени

Для реакции первого порядка \(-\dfrac{dc}{dt} = kc\): скорость пропорциональна тому, что осталось. Это уравнение мы решили в уроке 17; повторим вывод и извлечём из него всё, что нужно кинетике.

functionsЗакон первого порядка

Разделим переменные и проинтегрируем от начального момента:

\[\int_{c_0}^{c}\frac{dc}{c} = -k\int_0^t dt \quad\Rightarrow\quad \ln\frac{c}{c_0} = -kt, \qquad c = c_0e^{-kt}.\]

Период полупревращения найдём из \(c = c_0/2\): \(\ln\tfrac12 = -kt_{1/2}\), то есть

\[t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.\]

Он не зависит от \(c_0\). За \(n\) периодов остаётся доля \(\left(\tfrac12\right)^n\), а время, за которое останется доля \(f\), равно \(t = \dfrac{\ln(1/f)}{k}\).

За любые равные промежутки времени концентрация уменьшается в одно и то же число раз: половина, потом половина половины и так далее. График \(\ln c\) от \(t\) — прямая с наклоном \(-k\) (урок 10).

Откуда экспонента? У каждой молекулы (или ядра) одна и та же вероятность превратиться за секунду — \(k\), и она не зависит ни от соседей, ни от возраста частицы. Тогда за время \(dt\) превращается доля \(k\,dt\) оставшихся — это и есть \(dc = -kc\,dt\). Величину \(\tau = 1/k\) называют средним временем жизни (урок 16): за \(\tau\) концентрация падает в \(e = 2{,}72\) раза.

Реакция первого порядка: за каждый период полупревращения остаётся половина вещества — от 100 % к 50, 25, 12,5 %

Радиоактивный распад и датировка

Распад ядер — классический первый порядок: каждое ядро распадается независимо от соседей. Живые организмы поддерживают долю \(\ce{^{14}C}\) такой же, как в атмосфере; после гибели она убывает с периодом полураспада 5730 лет.

functionsВозраст по остатку изотопа

Если от исходного количества осталась доля \(N/N_0\), то из \(N = N_0e^{-kt}\) и \(k = \ln 2/t_{1/2}\)

\[t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\frac{N_0}{N}.\]

Если остаток измерить нельзя, а продукт распада накапливается в закрытой системе, исходное количество — сумма оставшегося и образовавшегося: \(N_0 = N + N_\text{прод}\) (одно ядро даёт одно ядро продукта), и \(t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\left(1 + \dfrac{N_\text{прод}}{N}\right)\).

Так калий-аргоновым методом датируют горные породы: \(\ce{^{40}K}\) превращается в аргон, запертый в кристалле.

infoИнтересный факт

В медицинской диагностике чаще всего используют изотоп технеций-99m с периодом полураспада 6 часов: за это время препарат успевает попасть в нужный орган и дать изображение, а через сутки его активность падает в 16 раз. Короче — не успеет дойти, длиннее — лишнее облучение.

lightbulbТаблетки по часам

Многие лекарства выводятся из организма по первому порядку. Если период полувыведения 6 часов, то через сутки остаётся \(1/16\) дозы — поэтому таблетки назначают принимать через равные промежутки: так концентрация колеблется в нужном коридоре (урок 18).

push_pinГлавное

Интегрирование \(-dc/dt = kc\) даёт \(c = c_0e^{-kt}\): \(\ln c\) линейно убывает со временем, период полупревращения \(t_{1/2} = \ln 2/k\) не зависит от начальной концентрации. Так распадаются радиоактивные ядра и идут многие мономолекулярные реакции. Возраст находят из \(t = (t_{1/2}/\ln 2)\ln(N_0/N)\), а исходное количество — как сумму оставшегося вещества и образовавшегося из него продукта.

Закрепите теорию: 8 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.