Волны и колебания

11 заданий

Гармонические колебания

linkОпора

Урок 24. Энергия, работа и давление — сила и работа, кинетическая и потенциальная энергия, закон сохранения энергии. Давление и работа газа против внешнего давления; единицы энергии и давления, энергия частицы и энергия моля
Урок 7. Степенные зависимости и масштабирование — степени, корни, отношения величин и безразмерные параметры. Изменение результата при увеличении аргумента в несколько раз

Спектроскопия изучает, как вещество поглощает и испускает излучение, а квантовая механика описывает электрон волной. И то и другое опирается на два физических образа — колебание и волну. В уроке 24 мы говорили о кинетической и потенциальной энергии; здесь посмотрим, как они переходят друг в друга при колебаниях.

Шарик массой \(m\) на пружине жёсткостью \(k\) сместили на \(x\) от положения равновесия. Пружина тянет его обратно с силой \(F = -kx\) (закон Гука). По второму закону Ньютона ускорение — вторая производная смещения по времени (урок 13), и

\[m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -kx.\]

functionsРешение уравнения колебаний

Проверим функцию \(x = A\cos\omega t\). По правилу цепочки (урок 13) и правилам \((\cos u)' = -\sin u\cdot u'\), \((\sin u)' = \cos u\cdot u'\):

\[\frac{dx}{dt} = -A\omega\sin\omega t, \qquad \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2x.\]

Подставим в уравнение: \(-m\omega^2x = -kx\). Равенство выполняется при любом \(t\), если

\[\omega = \sqrt{\frac km}, \qquad \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac km}, \qquad T = \frac1\nu.\]

Здесь \(A\) — амплитуда, \(\omega\) — циклическая частота (рад/с), \(\nu\) — частота (Гц \(=\) с\(^{-1}\)), \(T\) — период.

Частота не зависит от амплитуды: тяжёлый шарик на мягкой пружине колеблется медленно, лёгкий на жёсткой — быстро. При колебаниях энергия переходит из потенциальной \(\tfrac12 kx^2\) в кинетическую \(\tfrac12 mv^2\) и обратно, а их сумма \(\tfrac12 kA^2\) постоянна.

edit_noteМолекула как пружина

Химическая связь ведёт себя как пружина: атомы колеблются около равновесного расстояния. Для двухатомной молекулы вместо массы берут приведённую массу \(\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\). У молекулы HCl силовая постоянная связи \(k = 516\) Н/м, приведённая масса \(\mu = 1{,}63\cdot10^{-27}\) кг, поэтому

\[\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{516}{1{,}63\cdot10^{-27}}} = 8{,}96\cdot10^{13}\ \text{Гц}.\]

С такой частотой колеблется инфракрасное излучение с длиной волны 3,35 мкм — его молекула HCl и поглощает (урок 111).

Волны и интерференция

Если колебание передаётся от точки к точке, возникает волна: волны на воде, звук, свет. Волна переносит энергию, но не вещество. Её характеристики:

длина волны \(\lambda\) — расстояние между соседними гребнями;
частота \(\nu\) — число колебаний в секунду в каждой точке;
скорость распространения \(v = \lambda\nu\): за один период волна проходит одну длину волны.

Свет — электромагнитная волна. В вакууме все её длины распространяются с одной скоростью \(c = 2{,}998\cdot10^{8}\) м/с, поэтому \(c = \lambda\nu\). В спектроскопии часто используют волновое число \(\tilde\nu = 1/\lambda\) — число длин волн на сантиметр (см\(^{-1}\)); оно пропорционально частоте и энергии фотона (урок 107).

Излучение	Длина волны	Что оно возбуждает в веществе
радиоволны	больше 10 см	ядерные спины в магнитном поле (ЯМР)
микроволны	1 мм — 10 см	вращение молекул
инфракрасное	0,8 мкм — 1 мм	колебания атомов в молекулах
видимое	400–750 нм	переходы внешних электронов
ультрафиолетовое	10–400 нм	переходы электронов, разрыв связей
рентгеновское	0,01–10 нм	внутренние электроны; дифракция на кристаллах

Сложение волн

Когда в одну точку приходят две волны одинаковой частоты, их смещения складываются. Если волны приходят в одной фазе — гребень к гребню, — они усиливают друг друга. Если гребень одной совпадает со впадиной другой, волны гасят друг друга. Это явление называют интерференцией. Результат определяет разность хода \(\Delta\) — разница путей, пройденных волнами:

\[\Delta = m\lambda\ \Rightarrow\ \text{усиление}, \qquad \Delta = \left(m + \tfrac12\right)\lambda\ \Rightarrow\ \text{ослабление}, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots\]

Разность хода в целое число длин волн сдвигает одну волну относительно другой на целое число периодов, и гребни снова совпадают; полуцелое число ставит гребень одной волны против впадины другой.

На интерференции основана рентгеновская дифракция: лучи, отражённые соседними слоями атомов кристалла, усиливают друг друга, только если их разность хода кратна длине волны. Это условие Вульфа — Брэгга (урок 116).

Стоячие волны и квантование

Струна гитары закреплена на концах. Волна бежит по ней, отражается от концов, и прямая и отражённая волны складываются в стоячую волну: в одних точках, узлах, струна всё время неподвижна, в других, пучностях, колеблется с наибольшей амплитудой. На закреплённых концах всегда узлы.

functionsРазрешённые длины стоячих волн

Расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. Между узлами на концах струны длиной \(L\) должно уложиться целое число \(n\) полуволн:

\[L = n\,\frac{\lambda}{2} \quad\Rightarrow\quad \lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad \nu_n = \frac{v}{\lambda_n} = n\,\frac{v}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots\]

Возможны не любые длины волн и частоты, а только дискретный набор: основной тон (\(n = 1\)) и обертоны (\(n = 2, 3, \ldots\)).

Это первый пример квантования: условие на границах делает набор возможных состояний дискретным. В квантовой механике частица описывается волной с длиной волны де Бройля \(\lambda = h/(mv)\), где \(h = 6{,}626\cdot10^{-34}\) Дж·с — постоянная Планка. Электрон, запертый в молекуле, похож на волну на закреплённой струне: разрешены только стоячие волны, а значит — только определённые энергии.

edit_noteЭнергия частицы между двумя стенками

Пусть частица массой \(m\) заперта на отрезке длиной \(L\). Разрешены длины волн \(\lambda_n = 2L/n\), им соответствуют скорости \(v = \dfrac{h}{m\lambda_n}\) и энергии

\[E_n = \frac{mv^2}{2} = \frac{h^2}{2m\lambda_n^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}.\]

Для электрона в отрезке длиной 1 нм нижний уровень лежит при 0,38 эВ, а расстояния между уровнями сравнимы с энергией видимого света. Поэтому длинные молекулы с сопряжёнными двойными связями окрашены (урок 110).

infoИз истории

По преданию, Пифагор заметил, что струны, длины которых относятся как 1 : 2 или 2 : 3, звучат согласно. Причина в стоячих волнах: частоты основных тонов таких струн относятся как простые числа, и многие обертоны совпадают. В 1924 году Луи де Бройль предположил, что электрон в атоме тоже образует стоячую волну и на длине орбиты укладывается целое число длин волн; так он объяснил правило квантования Бора (урок 108).

push_pinГлавное

Гармоническое колебание \(x = A\cos\omega t\) с частотой \(\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\), для молекулы — с приведённой массой \(\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\). Волна переносит колебания: \(v = \lambda\nu\), для света \(c = \lambda\nu\), волновое число \(\tilde\nu = 1/\lambda\). Волны усиливают друг друга при разности хода \(m\lambda\) и гасят при \((m + \tfrac12)\lambda\). Между закреплёнными концами помещаются только стоячие волны с \(\lambda_n = 2L/n\) — простейший пример квантования.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.