Энергия, работа и давление

11 заданий

Сила, работа и энергия

linkОпора

Урок 2. Единицы и размерности — сИ, литры и кубические метры, паскали и атмосферы, джоули и килоджоули, кельвины. Различать величину и её числовое значение; проверять размерность обеих частей уравнения
Урок 12. Производная как скорость изменения — средняя и мгновенная скорость, секущая и касательная. Производные степенной функции, экспоненты и логарифма; простое правило цепочки

Физическая химия описывает превращения веществ языком энергии: сколько энергии выделяется при горении, почему одни реакции идут сами, а другие нет, как энергия распределяется между молекулами. Математический аппарат мы освоили в модуле 0. Прежде чем перейти к веществу, соберём физические понятия, на которых держится весь курс: силу, работу, энергию и давление.

Сила и работа

Сила — мера действия одного тела на другое. По второму закону Ньютона она равна произведению массы тела на его ускорение: \(F = ma\). Единица силы — ньютон, 1 Н = 1 кг·м/с². На тело массой \(m\) у поверхности Земли действует сила тяжести \(mg\), где \(g = 9{,}81\) м/с².

Если тело под действием постоянной силы \(F\) переместилось на расстояние \(s\) в направлении силы, сила совершила работу \(A = Fs\). Единица работы — джоуль: 1 Дж = 1 Н·м. Если сила меняется по пути, путь делят на малые участки, на каждом силу считают постоянной и складывают вклады, то есть берут интеграл (урок 15):

\[A = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx.\]

Кинетическая и потенциальная энергия

functionsКинетическая энергия

Пусть постоянная сила \(F\) разгоняет покоившееся тело массой \(m\) на пути \(s\). Ускорение \(a = F/m\) постоянно, и скорость в конце пути связана с путём формулой равноускоренного движения \(v^2 = 2as\), то есть \(s = \dfrac{v^2}{2a}\). Работа силы

\[A = Fs = ma\cdot\frac{v^2}{2a} = \frac{mv^2}{2}.\]

Работа, затраченная на разгон, запасается в виде энергии движения — кинетической энергии:

\[E_\text{к} = \frac{mv^2}{2}.\]

Чтобы поднять тело на высоту \(h\), нужно совершить работу против силы тяжести, равную \(mgh\). Она запасается в виде потенциальной энергии \(E_\text{п} = mgh\) — энергии взаимного положения тел. В химии главная потенциальная энергия — энергия взаимодействия заряженных частиц, электронов и ядер (урок 95).

functionЗакон сохранения энергии

Энергия не возникает из ничего и не исчезает: она переходит из одного вида в другой и передаётся от тела к телу. Полная энергия изолированной системы постоянна.

В термодинамике этот закон называют первым началом (урок 35). Там появятся два способа передачи энергии — работа и теплота — и внутренняя энергия вещества, которая складывается из кинетической энергии движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия.

edit_noteСколько энергии в тепловом движении

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа равна \(\tfrac32 kT\), где \(k = 1{,}381\cdot10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана (урок 32). При 298 К это \(6{,}17\cdot10^{-21}\) Дж на молекулу. Умножив на постоянную Авогадро, получим энергию моля: \(6{,}17\cdot10^{-21}\cdot6{,}022\cdot10^{23} = 3{,}72\) кДж/моль. Энергия связи H–H равна 436 кДж/моль — в сто с лишним раз больше. Поэтому при комнатной температуре удары молекул водорода друг о друга не разрывают связи.

Давление и работа газа

Газ давит на стенки сосуда: молекулы непрерывно ударяются о них и передают им импульс (урок 32). Давление — сила, действующая на единицу площади поверхности перпендикулярно ей:

\[p = \frac{F}{S}.\]

Единица давления — паскаль: \(1\ \text{Па} = 1\ \text{Н/м}^2\). Это маленькая величина: атмосферное давление около 101 325 Па. В химии используют также бар (\(1\ \text{бар} = 10^{5}\) Па), атмосферу (\(1\ \text{атм} = 101\,325\) Па) и миллиметр ртутного столба (\(760\ \text{мм рт. ст.} = 1\) атм).

edit_noteОткуда миллиметры ртутного столба

Столб жидкости высотой \(h\), плотностью \(\rho\) и сечением \(S\) имеет массу \(\rho Sh\) и давит на дно с силой \(\rho Shg\), то есть создаёт давление \(p = \rho gh\). Атмосферное давление уравновешивает столб ртути (\(\rho = 13\,595\) кг/м³) высотой 760 мм: \(13\,595\cdot9{,}807\cdot0{,}760 = 1{,}013\cdot10^{5}\) Па. Так устроен барометр Торричелли (1643 год).

functionsРабота газа при расширении

Газ под давлением \(p\) заперт в цилиндре поршнем площадью \(S\) и давит на поршень с силой \(F = pS\). Если поршень сдвинулся на малое расстояние \(dx\), газ совершил работу

\[\delta A = F\,dx = pS\,dx = p\,dV,\]

потому что \(S\,dx\) — изменение объёма газа \(dV\). Если внешнее давление постоянно, при расширении от \(V_1\) до \(V_2\) газ совершает работу

\[A_\text{газа} = p_\text{внеш}\,(V_2 - V_1).\]

Если давление меняется, работа равна интегралу \(\displaystyle\int p\,dV\) — площади под графиком \(p(V)\) (урок 15).

Отсюда важное соотношение единиц: 1 Па·м³ = 1 (Н/м²)·м³ = 1 Н·м = 1 Дж. Удобно помнить, что 1 бар·л = \(10^{5}\) Па · \(10^{-3}\) м³ = 100 Дж, а 1 кПа·л = 1 Дж.

В химии принято другое соглашение о знаке: положительной считают работу, совершённую над системой, \(W = -p_\text{внеш}\,\Delta V\) (урок 34). При расширении газ сам совершает работу над окружением, и \(W < 0\).

Энергия частицы и энергия моля

Химик работает в двух масштабах: отдельной молекулы и моля вещества. Энергию одной частицы удобно измерять в электронвольтах, энергию моля — в килоджоулях на моль.

Электронвольт — энергия, которую получает электрон, пройдя разность потенциалов 1 В: \(1\ \text{эВ} = 1{,}602\cdot10^{-19}\) Дж (подробнее — в уроке 95). Чтобы перейти от энергии одной частицы к энергии моля частиц, её умножают на постоянную Авогадро:

\[1\ \text{эВ на частицу} = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{Дж}\cdot6{,}022\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1} = 96{,}49\ \text{кДж/моль}.\]

Так же связаны постоянная Больцмана и газовая постоянная: \(k\) относится к одной частице, \(R\) — к молю, и \(R = kN_\text{A} = 8{,}314\) Дж/(моль·К). Величина \(kT\) (или \(RT\) на моль) — масштаб энергии теплового движения.

Процесс	На частицу	На моль
тепловое движение при 298 К (\(kT\))	0,026 эВ	2,48 кДж/моль
водородная связь	0,2 эВ	около 20 кДж/моль
связь C–C	3,6 эВ	348 кДж/моль
фотон видимого света (500 нм)	2,5 эВ	239 кДж/моль
ионизация атома водорода	13,6 эВ	1312 кДж/моль

Сравнение энергии процесса с \(kT\) сразу показывает, может ли его вызвать тепловое движение. Ковалентная связь прочнее \(kT\) более чем в сто раз, и при комнатной температуре она сама не рвётся. Водородная связь — всего около \(10kT\), поэтому в воде водородные связи постоянно разрываются и образуются вновь. Количественно это описывает распределение Больцмана (урок 50).

lightbulbБыстрый перевод

1 эВ на частицу \(\approx 96{,}5\) кДж/моль; 1 ккал \(= 4{,}184\) кДж; \(RT\) при 298 К \(\approx 2{,}48\) кДж/моль, \(RT\ln 10 \approx 5{,}71\) кДж/моль. Энергию фотона в электронвольтах удобно считать по формуле \(E \approx 1240/\lambda\), где \(\lambda\) — в нанометрах (урок 107).

infoИз истории

Джеймс Джоуль в 1840-х годах опускал груз, который вращал лопастное колесо в воде, и измерял, на сколько нагревается вода. Он нашёл, что механическая работа и теплота превращаются друг в друга в постоянном отношении: на одну калорию — около 4,18 Дж. Опыты Джоуля стали одной из опор закона сохранения энергии, и единица энергии носит его имя.

push_pinГлавное

Работа постоянной силы \(A = Fs\); кинетическая энергия \(\tfrac12 mv^2\), потенциальная энергия в поле тяжести \(mgh\); энергия изолированной системы сохраняется. Давление \(p = F/S\), 1 Па = 1 Н/м²; газ, расширяясь против постоянного давления, совершает работу \(p\,\Delta V\), причём 1 Па·м³ = 1 Дж и 1 бар·л = 100 Дж. Энергию частицы переводят в энергию моля умножением на \(N_\text{A}\): 1 эВ на частицу — 96,5 кДж/моль, \(k\,N_\text{A} = R\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.