Правила дифференцирования и исследование функции

12 заданий

Производная произведения и частного

linkОпора

Урок 12. Производная как скорость изменения — средняя и мгновенная скорость, секущая и касательная. Производные степенной функции, экспоненты и логарифма; простое правило цепочки
Урок 8. Десятичный и натуральный логарифмы — смысл логарифма, правила преобразования, переход между основаниями. Отдельно обсудить, почему логарифмируют безразмерное отношение или активность

В уроке 12 производная появилась как наклон касательной и мгновенная скорость изменения, и мы научились дифференцировать степень, экспоненту и логарифм. Формулы физической химии обычно сложнее. Энергия Гиббса \(G = H - TS\) содержит произведение температуры на энтропию. Константа скорости \(k = Ae^{-E_a/RT}\) — экспонента, показатель которой сам зависит от температуры. В термодинамике постоянно встречается отношение \(G/T\). Чтобы дифференцировать такие выражения, достаточно трёх правил: для произведения, для частного и для сложной функции. Все три следуют из определения производной, и в этом уроке мы их выведем.

Производная произведения

Пусть величина равна произведению двух функций: \(y = u(x)\,v(x)\). Пример из химии — количество растворённого вещества \(n = cV\): при упаривании раствора меняются и концентрация, и объём. Как быстро меняется произведение, если известны скорости изменения сомножителей?

functionsПравило произведения

Дадим аргументу малое приращение \(\Delta x\). Функции получат приращения \(\Delta u\) и \(\Delta v\), а произведение изменится на

\[\Delta y = (u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv = v\,\Delta u + u\,\Delta v + \Delta u\,\Delta v.\]

Разделим обе части на \(\Delta x\):

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = v\,\frac{\Delta u}{\Delta x} + u\,\frac{\Delta v}{\Delta x} + \frac{\Delta u}{\Delta x}\,\Delta v.\]

При \(\Delta x \to 0\) отношения \(\Delta u/\Delta x\) и \(\Delta v/\Delta x\) стремятся к производным \(u'\) и \(v'\). Последнее слагаемое исчезает: в нём конечная величина \(u'\) умножена на \(\Delta v\), а \(\Delta v\) стремится к нулю. Остаётся

\[(uv)' = u'v + uv'.\]

Площадь прямоугольника uv растёт за счёт двух полосок, v Δ u и u Δ v; угловой прямоугольник Δ u Δ v — величина второго порядка малости, в производную он не входит — Площадь прямоугольника \(uv\) растёт за счёт двух полосок, \(v\,\Delta u\) и \(u\,\Delta v\); угловой прямоугольник \(\Delta u\,\Delta v\) — величина второго порядка малости, в производную он не входит

Правило удобно запомнить по рисунку: прирост площади прямоугольника складывается из двух полосок вдоль его сторон. Каждый сомножитель даёт свой вклад так, как если бы другой оставался неизменным.

edit_noteКоличество вещества при упаривании

В 0,500 л раствора с концентрацией 0,200 моль/л объём уменьшается со скоростью 0,0100 л/мин, а концентрация растёт со скоростью 0,0040 моль/(л·мин). По правилу произведения

\[\frac{dn}{dt} = V\,\frac{dc}{dt} + c\,\frac{dV}{dt} = 0{,}500\cdot0{,}0040 + 0{,}200\cdot(-0{,}0100) = 0.\]

Количество вещества не меняется: при упаривании уходит только растворитель, и рост концентрации полностью объясняется уменьшением объёма. Если бы вещество ещё и разлагалось, сумма оказалась бы отрицательной.

Производная частного

Правило для частного \(y = u/v\) получается из правила произведения. Запишем \(u = yv\) и продифференцируем обе части: \(u' = y'v + yv'\). Выразим отсюда \(y'\) и подставим \(y = u/v\):

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' - yv'}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}.\]

Порядок в числителе важен: сначала производная числителя, умноженная на знаменатель, затем минус числитель, умноженный на производную знаменателя.

edit_noteИзотерма Ленгмюра

Доля поверхности, занятой адсорбированным газом, \(\theta = \dfrac{Kp}{1 + Kp}\) (урок 118). Её производная по давлению

\[\frac{d\theta}{dp} = \frac{K(1 + Kp) - Kp\cdot K}{(1 + Kp)^2} = \frac{K}{(1 + Kp)^2}.\]

При малых давлениях наклон равен \(K\): занятая доля растёт пропорционально давлению. При больших давлениях наклон стремится к нулю: поверхность почти заполнена, и новым молекулам некуда садиться.

edit_noteОтношение G/T

В термодинамике нужна производная отношения \(G/T\) по температуре. По правилу частного

\[\frac{d}{dT}\left(\frac{G}{T}\right) = \frac{T\,\dfrac{dG}{dT} - G}{T^2}.\]

В уроке 48 мы узнаем, что при постоянном давлении \(\dfrac{dG}{dT} = -S\). Тогда числитель равен \(-TS - G = -H\), и

\[\frac{d}{dT}\left(\frac{G}{T}\right) = -\frac{H}{T^2}.\]

Это уравнение Гиббса — Гельмгольца; в уроке 56 из него получится зависимость константы равновесия от температуры.

Производная сложной функции

Многие зависимости в химии — функции от функций. Константа скорости \(k = Ae^{-E_a/RT}\) — экспонента, но её показатель \(-E_a/(RT)\) сам меняется с температурой. Среднеквадратичная скорость молекул \(\sqrt{3RT/M}\) — корень из величины, пропорциональной температуре. Такие функции называют сложными: \(y = f(u)\), где \(u = g(x)\). Функцию \(g\) называют внутренней, а \(f\) — внешней.

functionsПравило цепочки

Пусть аргумент получил приращение \(\Delta x\). Внутренняя функция изменится на \(\Delta u\), внешняя — на \(\Delta y\). Запишем отношение приращений как произведение двух дробей:

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}.\]

При \(\Delta x \to 0\) стремится к нулю и \(\Delta u\), поэтому первая дробь переходит в \(f'(u)\), а вторая — в \(g'(x)\):

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\]

Словами: производная сложной функции равна производной внешней функции, вычисленной при значении внутренней, умноженной на производную внутренней функции. Запись Лейбница удобна тем, что правило выглядит как сокращение дроби на \(du\). Строго говоря, производная — не дробь, а предел отношения, но в этом правиле с ней можно обращаться как с дробью.

functionТаблица производных (дополнение к уроку 12)

Функция	Производная
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(a^{x}\)	\(a^{x}\ln a\)
\(\lg x\)	\(\dfrac{1}{x\ln 10}\)
\(e^{u(x)}\)	\(u'(x)\,e^{u(x)}\)
\(\ln u(x)\)	\(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)

Первые две строки — частные случаи правила для степени \(x^n\) при \(n = -1\) и \(n = 1/2\). Третья следует из записи \(a^x = e^{x\ln a}\) и правила цепочки, четвёртая — из равенства \(\lg x = \ln x/\ln 10\). Две последние строки — само правило цепочки для экспоненты и логарифма.

edit_noteКак константа скорости зависит от температуры

Для \(k = Ae^{-E_a/RT}\) внутренняя функция \(u = -\dfrac{E_a}{R}\cdot\dfrac{1}{T}\), её производная по первой строке таблицы \(u' = \dfrac{E_a}{R}\cdot\dfrac{1}{T^2}\). Поэтому

\[\frac{dk}{dT} = Ae^{-E_a/RT}\cdot\frac{E_a}{RT^2} = k\,\frac{E_a}{RT^2}, \qquad \frac{d\ln k}{dT} = \frac{E_a}{RT^2}.\]

Вторая запись — дифференциальная форма уравнения Аррениуса (урок 87). При \(E_a = 50\) кДж/моль и 300 К она даёт 0,067 К\(^{-1}\): нагревание на один кельвин ускоряет реакцию примерно на 7 %.

Логарифмическая производная

Производная логарифма функции по правилу цепочки равна

\[\frac{d\ln y}{dx} = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}.\]

Это относительная скорость изменения: какая доля величины прибавляется за единицу аргумента. Для экспоненты \(c = c_0e^{-kt}\) она постоянна: \(\dfrac{d\ln c}{dt} = -k\). Каждую минуту реагирует одна и та же доля оставшегося вещества — в этом и состоит смысл первого порядка реакции.

Ещё одно следствие правила цепочки пригодится в кинетике второго порядка. Если \(\dfrac{dc}{dt} = -kc^2\), то

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{c}\right) = -\frac{1}{c^2}\cdot\frac{dc}{dt} = -\frac{1}{c^2}\cdot\left(-kc^2\right) = k.\]

Величина \(1/c\) растёт с постоянной скоростью, и график зависимости \(1/c\) от времени — прямая (урок 84).

errorПотерянная внутренняя производная

Самая частая ошибка — написать \(\left(e^{-kt}\right)' = e^{-kt}\) и забыть множитель \(-k\). Ошибку выдаёт размерность: производная по времени должна иметь единицу «величина в секунду», а \(e^{-kt}\) безразмерна.

Экстремум и точка перегиба

При какой скорости молекул газа их больше всего? Когда концентрация промежуточного вещества наибольшая? Где на кривой титрования pH меняется быстрее всего? Все три вопроса — о поиске особых точек функции, и все решаются с помощью производной.

Максимум и минимум

Если функция в некоторой точке достигает максимума, то слева от неё она растёт (\(f' > 0\)), справа убывает (\(f' < 0\)), а в самой точке касательная горизонтальна: \(f' = 0\). У минимума производная меняет знак с минуса на плюс. Точки, где \(f' = 0\), называют стационарными; максимумы и минимумы вместе — экстремумами.

Различить максимум и минимум помогает вторая производная \(f''\) — производная от производной. Она показывает, как меняется наклон касательной. Если \(f'' < 0\), наклон уменьшается, и кривая изогнута выпуклостью вверх: стационарная точка — максимум. Если \(f'' > 0\), кривая изогнута выпуклостью вниз, и это минимум.

lightbulbКак найти экстремум

Выразите исследуемую величину как функцию одной переменной.
Найдите производную и приравняйте её к нулю.
Решите уравнение и оставьте корни, допустимые по смыслу задачи (урок 4).
Проверьте характер точки: по смене знака \(f'\) или по знаку \(f''\).
Если переменная ограничена отрезком, сравните значение в экстремуме со значениями на концах отрезка.

edit_noteНаиболее вероятная скорость молекул

Доля молекул газа со скоростями около \(u\) пропорциональна \(f(u) = u^2e^{-au^2}\), где \(a = \dfrac{M}{2RT}\) (распределение Максвелла, урок 32). По правилам произведения и цепочки

\[f'(u) = 2u\,e^{-au^2} + u^2e^{-au^2}\cdot(-2au) = 2u\,e^{-au^2}\left(1 - au^2\right).\]

Множители \(2u\) и \(e^{-au^2}\) при \(u > 0\) положительны, поэтому \(f' = 0\) только при \(au^2 = 1\):

\[u_\text{вер} = \frac{1}{\sqrt a} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}.\]

Слева от этой точки \(1 - au^2 > 0\), и функция растёт; справа она убывает. Значит, найден максимум. Для азота при 300 К \(u_\text{вер} = 422\) м/с.

Точка перегиба

Точка, в которой вторая производная меняет знак, называется точкой перегиба: в ней кривая переходит от выпуклости вниз к выпуклости вверх или наоборот. Наклон касательной в точке перегиба экстремален: кривая растёт или падает быстрее всего.

S-образная кривая и её производная: в точке перегиба наклон кривой наибольший, а производная проходит через максимум

edit_noteАвтокаталитическая реакция

В автокаталитической реакции продукт ускоряет собственное образование, и скорость \(v = kx(a - x)\), где \(x\) — концентрация продукта, \(a\) — её предельное значение. Наибольшая скорость там, где

\[\frac{dv}{dx} = k(a - 2x) = 0, \qquad x = \frac a2.\]

Вторая производная \(\dfrac{d^2v}{dx^2} = -2k < 0\), поэтому это максимум. Кривая \(x(t)\) имеет S-образную форму, и её точка перегиба лежит при \(x = a/2\): до неё реакция разгоняется, после неё затухает, потому что кончается исходное вещество.

Та же мысль работает в анализе. Кривая титрования — зависимость pH от объёма титранта — тоже S-образная, и точка эквивалентности — её точка перегиба, где pH меняется быстрее всего. Поэтому точку эквивалентности находят по максимуму производной \(d\,\mathrm{pH}/dV\) (урок 65).

infoИз истории

Правило «в точке экстремума производная равна нулю» нашёл Пьер Ферма в 1630-х годах — раньше, чем Ньютон и Лейбниц построили дифференциальное исчисление. Ферма сравнивал значения функции в двух близких точках и требовал, чтобы их разность обращалась в нуль быстрее, чем расстояние между точками. Это и есть условие \(f' = 0\).

push_pinГлавное

\((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\), \(\left(\dfrac uv\right)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}\), \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\). В экстремуме \(f^{\prime} = 0\); при \(f^{\prime\prime} < 0\) это максимум, при \(f^{\prime\prime} > 0\) — минимум. В точке перегиба вторая производная меняет знак, а наклон кривой наибольший — так находят точку эквивалентности на кривой титрования.

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.