Изотерма и адиабата

9 заданий

Теплоёмкости идеального газа

linkОпора

Урок 34. Работа расширения — внешнее давление и изменение объёма; обратимое и необратимое расширение. Геометрический смысл работы на диаграмме давления и объёма
Урок 36. Теплоёмкости и калориметрия — удельная и молярная теплоёмкости, теплоёмкость калориметра, тепловой баланс. Обсудить теплопотери как причину систематической ошибки
Урок 17. Простейшие дифференциальные уравнения — уравнение первого порядка, разделение переменных и начальное условие. Вывести экспоненциальный закон и проверить решение обратной подстановкой

В уроках 35 и 37 мы получили теплоёмкости идеального газа: \(C_V = (\partial U/\partial T)_V\), \(C_p = (\partial H/\partial T)_p\), и \(C_{p,m} - C_{V,m} = R\). Их отношение \(\gamma = C_p/C_V\) определяет, как ведёт себя газ без теплообмена.

Газ	\(C_{V,m}\)	\(C_{p,m}\)	\(\gamma = C_p/C_V\)
одноатомный (\(\ce{He}\), \(\ce{Ar}\))	\(\tfrac32R\)	\(\tfrac52R\)	\(5/3 = 1{,}67\)
двухатомный (\(\ce{N2}\), \(\ce{O2}\), воздух)	\(\tfrac52R\)	\(\tfrac72R\)	\(7/5 = 1{,}40\)

Одноатомный газ запасает энергию только в поступательном движении, двухатомный — ещё во вращении молекул (урок 33); колебания при комнатной температуре почти не возбуждены (урок 111). Полезное соотношение: \(\gamma - 1 = \dfrac{C_p - C_V}{C_V} = \dfrac{R}{C_{V,m}}\).

Изотерма

При обратимом изотермическом процессе идеального газа температура постоянна, поэтому \(\Delta U = 0\) (урок 35) и

\[W = -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad Q = -W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.\]

Расширяясь, газ совершает работу и получает ровно столько же теплоты от термостата; при сжатии над газом совершают работу, и он отдаёт эту энергию термостату в виде теплоты. Линия процесса \(pV = \text{const}\) — гипербола; её наклон \(\left(\dfrac{\partial p}{\partial V}\right)_T = -\dfrac pV\) (урок 19).

Адиабата

Адиабатический процесс идёт без теплообмена (\(Q = 0\)): быстрое сжатие или расширение, процесс в теплоизолированном сосуде. Тогда \(\Delta U = W\): расширяясь, газ совершает работу за счёт внутренней энергии и охлаждается, а при сжатии нагревается.

functionsУравнение обратимой адиабаты

При \(\delta Q = 0\) первое начало даёт \(dU = \delta W\). Для идеального газа \(dU = nC_{V,m}\,dT\) (урок 35), а при обратимом процессе \(\delta W = -p\,dV = -\dfrac{nRT}{V}\,dV\). Приравняем и разделим переменные (урок 17):

\[nC_{V,m}\,dT = -\frac{nRT}{V}\,dV \quad\Rightarrow\quad C_{V,m}\,\frac{dT}{T} = -R\,\frac{dV}{V}.\]

Проинтегрируем от состояния 1 до состояния 2 (урок 15):

\[C_{V,m}\ln\frac{T_2}{T_1} = -R\ln\frac{V_2}{V_1} \quad\Rightarrow\quad \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R/C_{V,m}} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma - 1}.\]

Итак, \(TV^{\gamma - 1} = \text{const}\). Подставив \(T = pV/(nR)\), получим \(pV^{\gamma} = \text{const}\). Работа над газом \(W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)\).

Изотерма и адиабата из одного начального состояния: при расширении адиабата идёт ниже — газ охлаждается, давление падает быстрее

Почему адиабата круче изотермы? Из \(pV^\gamma = \text{const}\) наклон \(\dfrac{dp}{dV} = -\gamma\,\dfrac pV\) — в \(\gamma\) раз больше по модулю, чем у изотермы. При адиабатическом расширении давление падает и из-за роста объёма, и из-за охлаждения газа.

edit_noteДизельный двигатель

Воздух (\(\gamma = 1{,}4\)) при 300 К быстро сжимают в 15 раз: \(T_2 = 300\cdot15^{0{,}4} = 886\) К — выше температуры самовоспламенения топлива, поэтому свеча зажигания не нужна.

	Изотерма	Адиабата
условие	\(T = \text{const}\) (термостат)	\(Q = 0\) (изоляция или быстрый процесс)
\(\Delta U\)	\(0\)	\(nC_V(T_2 - T_1)\)
работа над газом	\(-nRT\ln(V_2/V_1)\)	\(nC_V(T_2 - T_1)\)
теплота	\(Q = -W\)	\(0\)
линия на диаграмме	\(pV = \text{const}\)	\(pV^{\gamma} = \text{const}\)

errorНеобратимая адиабата

Уравнения \(TV^{\gamma-1} = \text{const}\) и \(pV^{\gamma} = \text{const}\) верны только для обратимого процесса: при выводе мы положили \(p_\text{внеш} = p\). Если газ резко расширяется против постоянного внешнего давления, пишут баланс энергии: \(nC_V(T_2 - T_1) = -p_\text{внеш}(V_2 - V_1)\). Работа меньше обратимой, поэтому газ охлаждается слабее.

infoИнтересный факт

Задолго до Рудольфа Дизеля (патент 1893 года) адиабатическим сжатием добывали огонь в Юго-Восточной Азии: огневой поршень — трубка с плотно подогнанным поршнем. Резкий удар по поршню сжимает воздух так, что трут внутри вспыхивает.

push_pinГлавное

При изотерме \(\Delta U = 0\) и \(Q = -W = nRT\ln(V_2/V_1)\). При обратимой адиабате \(Q = 0\), \(dU = -p\,dV\), и разделение переменных даёт \(TV^{\gamma - 1} = \text{const}\), \(pV^\gamma = \text{const}\); газ, расширяясь, охлаждается, а \(W = \Delta U = nC_V\Delta T\). Адиабата на диаграмме \(p\)–\(V\) в \(\gamma\) раз круче изотермы.

Закрепите теорию: 9 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.